Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73782 / 73654
↖ ↑ ↗
← S 21.754398°
E 22.648315°		 ← 283.67 m → S 21.754398°
E 22.651062°		 →
↑
283.64 m
↓
↑
283.64 m
↓
S 21.756949°
E 22.648315°		 ← 283.67 m →
80 460 m²		 S 21.756949°
E 22.651062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562915802001953 y=0.561939239501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562915802001953 × 217)
    floor (0.562915802001953 × 131072)
    floor (73782.5)     		tx = 73782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561939239501953 × 217)
    floor (0.561939239501953 × 131072)
    floor (73654.5)     		ty = 73654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73782 / 73654 ti = "17/73782/73654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73782/73654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73782 ÷ 217
    73782 ÷ 131072     		x = 0.562911987304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73654 ÷ 217
    73654 ÷ 131072     		y = 0.561935424804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562911987304688 × 2 - 1) × π
    0.125823974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.39528767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.561935424804688 × 2 - 1) × π
    -0.123870849609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.389151751115616
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39528767} λ = 0.39528767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.389151751115616))-π/2
    2×atan(0.677631430885579)-π/2
    2×0.595555228554297-π/2
    1.19111045710859-1.57079632675     		φ = -0.37968587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39528767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.648315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37968587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.754398°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73782 KachelY 73654 0.39528767 -0.37968587 22.648315 -21.754398
    Oben rechts KachelX + 1 73783 KachelY 73654 0.39533561 -0.37968587 22.651062 -21.754398
    Unten links KachelX 73782 KachelY + 1 73655 0.39528767 -0.37973039 22.648315 -21.756949
    Unten rechts KachelX + 1 73783 KachelY + 1 73655 0.39533561 -0.37973039 22.651062 -21.756949
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37968587--0.37973039) × R
    4.45199999999923e-05 × 6371000     		dl = 283.636919999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37968587--0.37973039) × R
    4.45199999999923e-05 × 6371000     		dr = 283.636919999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39528767-0.39533561) × cos(-0.37968587) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.928781107002426 × 6371000     		do = 283.673656904378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39528767-0.39533561) × cos(-0.37973039) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.928764605690949 × 6371000     		du = 283.668616979109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37968587)-sin(-0.37973039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928781107002426-0.928764605690949)×R²
    abs(0.39533561-0.39528767)×1.65013114766799e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.65013114766799e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.65013114766799e-05×40589641000000     		ar = 80459.6075883912m²