Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73781 / 73695
↖ ↑ ↗
← S 21.858950°
E 22.645569°		 ← 283.41 m → S 21.858950°
E 22.648315°		 →
↑
283.45 m
↓
↑
283.45 m
↓
S 21.861499°
E 22.645569°		 ← 283.40 m →
80 330 m²		 S 21.861499°
E 22.648315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73781 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562908172607422 y=0.562252044677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562908172607422 × 217)
    floor (0.562908172607422 × 131072)
    floor (73781.5)     		tx = 73781
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562252044677734 × 217)
    floor (0.562252044677734 × 131072)
    floor (73695.5)     		ty = 73695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73781 / 73695 ti = "17/73781/73695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73781/73695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73781 ÷ 217
    73781 ÷ 131072     		x = 0.562904357910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73695 ÷ 217
    73695 ÷ 131072     		y = 0.562248229980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562904357910156 × 2 - 1) × π
    0.125808715820312 × 3.1415926535     		Λ = 0.39523974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562248229980469 × 2 - 1) × π
    -0.124496459960938 × 3.1415926535     		Φ = -0.391117164000038
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39523974} λ = 0.39523974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.391117164000038))-π/2
    2×atan(0.676300913276951)-π/2
    2×0.594642842232545-π/2
    1.18928568446509-1.57079632675     		φ = -0.38151064
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39523974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.645569°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38151064 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.858950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73781 KachelY 73695 0.39523974 -0.38151064 22.645569 -21.858950
    Oben rechts KachelX + 1 73782 KachelY 73695 0.39528767 -0.38151064 22.648315 -21.858950
    Unten links KachelX 73781 KachelY + 1 73696 0.39523974 -0.38155513 22.645569 -21.861499
    Unten rechts KachelX + 1 73782 KachelY + 1 73696 0.39528767 -0.38155513 22.648315 -21.861499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38151064--0.38155513) × R
    4.44900000000081e-05 × 6371000     		dl = 283.445790000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38151064--0.38155513) × R
    4.44900000000081e-05 × 6371000     		dr = 283.445790000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39523974-0.39528767) × cos(-0.38151064) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.928103248870143 × 6371000     		do = 283.407492124427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39523974-0.39528767) × cos(-0.38155513) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.928086683304752 × 6371000     		du = 283.402433629751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38151064)-sin(-0.38155513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928103248870143-0.928086683304752)×R²
    abs(0.39528767-0.39523974)×1.65655653907582e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.65655653907582e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.65655653907582e-05×40589641000000     		ar = 80329.9436058093m²