Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73780 / 73658
↖ ↑ ↗
← S 21.764601°
E 22.642822°		 ← 283.65 m → S 21.764601°
E 22.645569°		 →
↑
283.64 m
↓
↑
283.64 m
↓
S 21.767152°
E 22.642822°		 ← 283.65 m →
80 454 m²		 S 21.767152°
E 22.645569°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562900543212891 y=0.561969757080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562900543212891 × 217)
    floor (0.562900543212891 × 131072)
    floor (73780.5)     		tx = 73780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561969757080078 × 217)
    floor (0.561969757080078 × 131072)
    floor (73658.5)     		ty = 73658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73780 / 73658 ti = "17/73780/73658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73780/73658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73780 ÷ 217
    73780 ÷ 131072     		x = 0.562896728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73658 ÷ 217
    73658 ÷ 131072     		y = 0.561965942382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562896728515625 × 2 - 1) × π
    0.12579345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39519180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.561965942382812 × 2 - 1) × π
    -0.123931884765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.389343498714096
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39519180} λ = 0.39519180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.389343498714096))-π/2
    2×atan(0.677501509142541)-π/2
    2×0.595466185945406-π/2
    1.19093237189081-1.57079632675     		φ = -0.37986395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39519180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.642822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37986395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.764601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73780 KachelY 73658 0.39519180 -0.37986395 22.642822 -21.764601
    Oben rechts KachelX + 1 73781 KachelY 73658 0.39523974 -0.37986395 22.645569 -21.764601
    Unten links KachelX 73780 KachelY + 1 73659 0.39519180 -0.37990847 22.642822 -21.767152
    Unten rechts KachelX + 1 73781 KachelY + 1 73659 0.39523974 -0.37990847 22.645569 -21.767152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37986395--0.37990847) × R
    4.45199999999923e-05 × 6371000     		dl = 283.636919999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37986395--0.37990847) × R
    4.45199999999923e-05 × 6371000     		dr = 283.636919999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39519180-0.39523974) × cos(-0.37986395) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.928715090711612 × 6371000     		do = 283.653493829904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39519180-0.39523974) × cos(-0.37990847) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.928698582036972 × 6371000     		du = 283.648451655735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37986395)-sin(-0.37990847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928715090711612-0.928698582036972)×R²
    abs(0.39523974-0.39519180)×1.6508674639204e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.6508674639204e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.6508674639204e-05×40589641000000     		ar = 80453.8882770396m²