Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73779 / 73692
↖ ↑ ↗
← S 21.851302°
E 22.640075°		 ← 283.48 m → S 21.851302°
E 22.642822°		 →
↑
283.45 m
↓
↑
283.45 m
↓
S 21.853851°
E 22.640075°		 ← 283.48 m →
80 351 m²		 S 21.853851°
E 22.642822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73692 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562892913818359 y=0.562229156494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562892913818359 × 217)
    floor (0.562892913818359 × 131072)
    floor (73779.5)     		tx = 73779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562229156494141 × 217)
    floor (0.562229156494141 × 131072)
    floor (73692.5)     		ty = 73692
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73779 / 73692 ti = "17/73779/73692"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73779/73692.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73779 ÷ 217
    73779 ÷ 131072     		x = 0.562889099121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73692 ÷ 217
    73692 ÷ 131072     		y = 0.562225341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562889099121094 × 2 - 1) × π
    0.125778198242188 × 3.1415926535     		Λ = 0.39514386
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562225341796875 × 2 - 1) × π
    -0.12445068359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.390973353301178
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39514386} λ = 0.39514386}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.390973353301178))-π/2
    2×atan(0.676398179577729)-π/2
    2×0.59470957960738-π/2
    1.18941915921476-1.57079632675     		φ = -0.38137717
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39514386} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.640075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38137717 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.851302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73779 KachelY 73692 0.39514386 -0.38137717 22.640075 -21.851302
    Oben rechts KachelX + 1 73780 KachelY 73692 0.39519180 -0.38137717 22.642822 -21.851302
    Unten links KachelX 73779 KachelY + 1 73693 0.39514386 -0.38142166 22.640075 -21.853851
    Unten rechts KachelX + 1 73780 KachelY + 1 73693 0.39519180 -0.38142166 22.642822 -21.853851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38137717--0.38142166) × R
    4.44900000000081e-05 × 6371000     		dl = 283.445790000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38137717--0.38142166) × R
    4.44900000000081e-05 × 6371000     		dr = 283.445790000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39514386-0.39519180) × cos(-0.38137717) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.92815293454388 × 6371000     		do = 283.48179686605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39514386-0.39519180) × cos(-0.38142166) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.928136374489739 × 6371000     		du = 283.47673899926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38137717)-sin(-0.38142166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92815293454388-0.928136374489739)×R²
    abs(0.39519180-0.39514386)×1.65600541407462e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65600541407462e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65600541407462e-05×40589641000000     		ar = 80351.0050611069m²