Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73779 / 73657
↖ ↑ ↗
← S 21.762050°
E 22.640075°		 ← 283.66 m → S 21.762050°
E 22.642822°		 →
↑
283.64 m
↓
↑
283.64 m
↓
S 21.764601°
E 22.640075°		 ← 283.65 m →
80 455 m²		 S 21.764601°
E 22.642822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562892913818359 y=0.561962127685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562892913818359 × 217)
    floor (0.562892913818359 × 131072)
    floor (73779.5)     		tx = 73779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561962127685547 × 217)
    floor (0.561962127685547 × 131072)
    floor (73657.5)     		ty = 73657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73779 / 73657 ti = "17/73779/73657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73779/73657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73779 ÷ 217
    73779 ÷ 131072     		x = 0.562889099121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73657 ÷ 217
    73657 ÷ 131072     		y = 0.561958312988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562889099121094 × 2 - 1) × π
    0.125778198242188 × 3.1415926535     		Λ = 0.39514386
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.561958312988281 × 2 - 1) × π
    -0.123916625976562 × 3.1415926535     		Φ = -0.389295561814476
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39514386} λ = 0.39514386}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.389295561814476))-π/2
    2×atan(0.677533987242821)-π/2
    2×0.595488446004228-π/2
    1.19097689200846-1.57079632675     		φ = -0.37981943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39514386} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.640075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37981943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.762050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73779 KachelY 73657 0.39514386 -0.37981943 22.640075 -21.762050
    Oben rechts KachelX + 1 73780 KachelY 73657 0.39519180 -0.37981943 22.642822 -21.762050
    Unten links KachelX 73779 KachelY + 1 73658 0.39514386 -0.37986395 22.640075 -21.764601
    Unten rechts KachelX + 1 73780 KachelY + 1 73658 0.39519180 -0.37986395 22.642822 -21.764601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37981943--0.37986395) × R
    4.45199999999923e-05 × 6371000     		dl = 283.636919999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37981943--0.37986395) × R
    4.45199999999923e-05 × 6371000     		dr = 283.636919999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39514386-0.39519180) × cos(-0.37981943) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.928731597545509 × 6371000     		do = 283.658535441533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39514386-0.39519180) × cos(-0.37986395) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.928715090711612 × 6371000     		du = 283.653493829575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37981943)-sin(-0.37986395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928731597545509-0.928715090711612)×R²
    abs(0.39519180-0.39514386)×1.65068338976448e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65068338976448e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65068338976448e-05×40589641000000     		ar = 80455.3183439888m²