Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73777 / 73653
↖ ↑ ↗
← S 21.751847°
E 22.634583°		 ← 283.68 m → S 21.751847°
E 22.637329°		 →
↑
283.64 m
↓
↑
283.64 m
↓
S 21.754398°
E 22.634583°		 ← 283.67 m →
80 461 m²		 S 21.754398°
E 22.637329°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562877655029297 y=0.561931610107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562877655029297 × 217)
    floor (0.562877655029297 × 131072)
    floor (73777.5)     		tx = 73777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561931610107422 × 217)
    floor (0.561931610107422 × 131072)
    floor (73653.5)     		ty = 73653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73777 / 73653 ti = "17/73777/73653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73777/73653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73777 ÷ 217
    73777 ÷ 131072     		x = 0.562873840332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73653 ÷ 217
    73653 ÷ 131072     		y = 0.561927795410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562873840332031 × 2 - 1) × π
    0.125747680664062 × 3.1415926535     		Λ = 0.39504799
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.561927795410156 × 2 - 1) × π
    -0.123855590820312 × 3.1415926535     		Φ = -0.389103814215996
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39504799} λ = 0.39504799}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.389103814215996))-π/2
    2×atan(0.677663915214054)-π/2
    2×0.595577490195399-π/2
    1.1911549803908-1.57079632675     		φ = -0.37964135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39504799} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.634583°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37964135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.751847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73777 KachelY 73653 0.39504799 -0.37964135 22.634583 -21.751847
    Oben rechts KachelX + 1 73778 KachelY 73653 0.39509593 -0.37964135 22.637329 -21.751847
    Unten links KachelX 73777 KachelY + 1 73654 0.39504799 -0.37968587 22.634583 -21.754398
    Unten rechts KachelX + 1 73778 KachelY + 1 73654 0.39509593 -0.37968587 22.637329 -21.754398
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37964135--0.37968587) × R
    4.45199999999923e-05 × 6371000     		dl = 283.636919999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37964135--0.37968587) × R
    4.45199999999923e-05 × 6371000     		dr = 283.636919999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39504799-0.39509593) × cos(-0.37964135) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.92879760647303 × 6371000     		do = 283.678696267068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39504799-0.39509593) × cos(-0.37968587) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.928781107002426 × 6371000     		du = 283.673656904049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37964135)-sin(-0.37968587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92879760647303-0.928781107002426)×R²
    abs(0.39509593-0.39504799)×1.64994706044475e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64994706044475e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64994706044475e-05×40589641000000     		ar = 80461.0370173899m²