Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73775 / 73683
↖ ↑ ↗
← S 21.828357°
E 22.629090°		 ← 283.47 m → S 21.828357°
E 22.631836°		 →
↑
283.51 m
↓
↑
283.51 m
↓
S 21.830907°
E 22.629090°		 ← 283.46 m →
80 365 m²		 S 21.830907°
E 22.631836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562862396240234 y=0.562160491943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562862396240234 × 217)
    floor (0.562862396240234 × 131072)
    floor (73775.5)     		tx = 73775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562160491943359 × 217)
    floor (0.562160491943359 × 131072)
    floor (73683.5)     		ty = 73683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73775 / 73683 ti = "17/73775/73683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73775/73683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73775 ÷ 217
    73775 ÷ 131072     		x = 0.562858581542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73683 ÷ 217
    73683 ÷ 131072     		y = 0.562156677246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562858581542969 × 2 - 1) × π
    0.125717163085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.39495212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562156677246094 × 2 - 1) × π
    -0.124313354492188 × 3.1415926535     		Φ = -0.390541921204597
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39495212} λ = 0.39495212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.390541921204597))-π/2
    2×atan(0.676690062421754)-π/2
    2×0.594909813161654-π/2
    1.18981962632331-1.57079632675     		φ = -0.38097670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39495212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.629090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38097670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.828357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73775 KachelY 73683 0.39495212 -0.38097670 22.629090 -21.828357
    Oben rechts KachelX + 1 73776 KachelY 73683 0.39500005 -0.38097670 22.631836 -21.828357
    Unten links KachelX 73775 KachelY + 1 73684 0.39495212 -0.38102120 22.629090 -21.830907
    Unten rechts KachelX + 1 73776 KachelY + 1 73684 0.39500005 -0.38102120 22.631836 -21.830907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38097670--0.38102120) × R
    4.45000000000029e-05 × 6371000     		dl = 283.509500000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38097670--0.38102120) × R
    4.45000000000029e-05 × 6371000     		dr = 283.509500000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39495212-0.39500005) × cos(-0.38097670) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.928301914665155 × 6371000     		do = 283.468157114884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39495212-0.39500005) × cos(-0.38102120) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.928285367430326 × 6371000     		du = 283.463104217665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38097670)-sin(-0.38102120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928301914665155-0.928285367430326)×R²
    abs(0.39500005-0.39495212)×1.65472348294671e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.65472348294671e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.65472348294671e-05×40589641000000     		ar = 80365.1992306079m²