Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73774 / 61334
↖ ↑ ↗
← N 11.463874°
E 22.626343°		 ← 299.33 m → N 11.463874°
E 22.629090°		 →
↑
299.31 m
↓
↑
299.31 m
↓
N 11.461182°
E 22.626343°		 ← 299.34 m →
89 594 m²		 N 11.461182°
E 22.629090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562854766845703 y=0.467945098876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562854766845703 × 217)
    floor (0.562854766845703 × 131072)
    floor (73774.5)     		tx = 73774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467945098876953 × 217)
    floor (0.467945098876953 × 131072)
    floor (61334.5)     		ty = 61334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73774 / 61334 ti = "17/73774/61334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73774/61334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73774 ÷ 217
    73774 ÷ 131072     		x = 0.562850952148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61334 ÷ 217
    61334 ÷ 131072     		y = 0.467941284179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562850952148438 × 2 - 1) × π
    0.125701904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.39490418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467941284179688 × 2 - 1) × π
    0.064117431640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.201430852203476
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39490418} λ = 0.39490418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.201430852203476))-π/2
    2×atan(1.22315165589672)-π/2
    2×0.885439339882442-π/2
    1.77087867976488-1.57079632675     		φ = 0.20008235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39490418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.626343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20008235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.463874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73774 KachelY 61334 0.39490418 0.20008235 22.626343 11.463874
    Oben rechts KachelX + 1 73775 KachelY 61334 0.39495212 0.20008235 22.629090 11.463874
    Unten links KachelX 73774 KachelY + 1 61335 0.39490418 0.20003537 22.626343 11.461182
    Unten rechts KachelX + 1 73775 KachelY + 1 61335 0.39495212 0.20003537 22.629090 11.461182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20008235-0.20003537) × R
    4.6980000000002e-05 × 6371000     		dl = 299.309580000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20008235-0.20003537) × R
    4.6980000000002e-05 × 6371000     		dr = 299.309580000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39490418-0.39495212) × cos(0.20008235) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.980050214098697 × 6371000     		do = 299.332561878403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39490418-0.39495212) × cos(0.20003537) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.980059550293963 × 6371000     		du = 299.335413392751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20008235)-sin(0.20003537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980050214098697-0.980059550293963)×R²
    abs(0.39495212-0.39490418)×9.33619526577445e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.33619526577445e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.33619526577445e-06×40589641000000     		ar = 89593.5301353938m²