Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73773 / 73659
↖ ↑ ↗
← S 21.767152°
E 22.623596°		 ← 283.65 m → S 21.767152°
E 22.626343°		 →
↑
283.64 m
↓
↑
283.64 m
↓
S 21.769703°
E 22.623596°		 ← 283.64 m →
80 452 m²		 S 21.769703°
E 22.626343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562847137451172 y=0.561977386474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562847137451172 × 217)
    floor (0.562847137451172 × 131072)
    floor (73773.5)     		tx = 73773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561977386474609 × 217)
    floor (0.561977386474609 × 131072)
    floor (73659.5)     		ty = 73659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73773 / 73659 ti = "17/73773/73659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73773/73659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73773 ÷ 217
    73773 ÷ 131072     		x = 0.562843322753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73659 ÷ 217
    73659 ÷ 131072     		y = 0.561973571777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562843322753906 × 2 - 1) × π
    0.125686645507812 × 3.1415926535     		Λ = 0.39485624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.561973571777344 × 2 - 1) × π
    -0.123947143554688 × 3.1415926535     		Φ = -0.389391435613716
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39485624} λ = 0.39485624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.389391435613716))-π/2
    2×atan(0.677469032599124)-π/2
    2×0.595443926282248-π/2
    1.1908878525645-1.57079632675     		φ = -0.37990847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39485624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.623596°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37990847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.767152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73773 KachelY 73659 0.39485624 -0.37990847 22.623596 -21.767152
    Oben rechts KachelX + 1 73774 KachelY 73659 0.39490418 -0.37990847 22.626343 -21.767152
    Unten links KachelX 73773 KachelY + 1 73660 0.39485624 -0.37995299 22.623596 -21.769703
    Unten rechts KachelX + 1 73774 KachelY + 1 73660 0.39490418 -0.37995299 22.626343 -21.769703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37990847--0.37995299) × R
    4.45199999999923e-05 × 6371000     		dl = 283.636919999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37990847--0.37995299) × R
    4.45199999999923e-05 × 6371000     		dr = 283.636919999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39485624-0.39490418) × cos(-0.37990847) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.928698582036972 × 6371000     		do = 283.648451655407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39485624-0.39490418) × cos(-0.37995299) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.928682071521624 × 6371000     		du = 283.643408919039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37990847)-sin(-0.37995299))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928698582036972-0.928682071521624)×R²
    abs(0.39490418-0.39485624)×1.65105153481226e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65105153481226e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65105153481226e-05×40589641000000     		ar = 80452.4580505786m²