Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7377 / 8755
↖ ↑ ↗
← N 78.574643°
W139.476929°		 ← 121 m → N 78.574643°
W139.471435°		 →
↑
121.05 m
↓
↑
121.05 m
↓
N 78.573554°
W139.476929°		 ← 121.02 m →
14 648 m²		 N 78.573554°
W139.471435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.112571716308594 y=0.133598327636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.112571716308594 × 216)
    floor (0.112571716308594 × 65536)
    floor (7377.5)     		tx = 7377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133598327636719 × 216)
    floor (0.133598327636719 × 65536)
    floor (8755.5)     		ty = 8755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7377 / 8755 ti = "16/7377/8755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7377/8755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7377 ÷ 216
    7377 ÷ 65536     		x = 0.112564086914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8755 ÷ 216
    8755 ÷ 65536     		y = 0.133590698242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.112564086914062 × 2 - 1) × π
    -0.774871826171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.43433164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133590698242188 × 2 - 1) × π
    0.732818603515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.30221754115282
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.43433164} λ = -2.43433164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30221754115282))-π/2
    2×atan(9.99632515697674)-π/2
    2×1.47109127647616-π/2
    2.94218255295233-1.57079632675     		φ = 1.37138623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.43433164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -139.476929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37138623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.574643°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7377 KachelY 8755 -2.43433164 1.37138623 -139.476929 78.574643
    Oben rechts KachelX + 1 7378 KachelY 8755 -2.43423576 1.37138623 -139.471435 78.574643
    Unten links KachelX 7377 KachelY + 1 8756 -2.43433164 1.37136723 -139.476929 78.573554
    Unten rechts KachelX + 1 7378 KachelY + 1 8756 -2.43423576 1.37136723 -139.471435 78.573554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37138623-1.37136723) × R
    1.89999999999912e-05 × 6371000     		dl = 121.048999999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37138623-1.37136723) × R
    1.89999999999912e-05 × 6371000     		dr = 121.048999999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.43433164--2.43423576) × cos(1.37138623) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.198091151846058 × 6371000     		do = 121.00427327999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.43433164--2.43423576) × cos(1.37136723) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.198109775298758 × 6371000     		du = 121.015649443634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37138623)-sin(1.37136723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198091151846058-0.198109775298758)×R²
    abs(-2.43423576--2.43433164)×1.86234527001505e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.86234527001505e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.86234527001505e-05×40589641000000     		ar = 14648.1348136587m²