Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7377 / 10197
↖ ↑ ↗
← S 40.262761°
W 17.907715°		 ← 1 864.44 m → S 40.262761°
W 17.885742°		 →
↑
1 864.15 m
↓
↑
1 864.15 m
↓
S 40.279525°
W 17.907715°		 ← 1 863.98 m →
3 475 170 m²		 S 40.279525°
W 17.885742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450286865234375 y=0.622406005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450286865234375 × 214)
    floor (0.450286865234375 × 16384)
    floor (7377.5)     		tx = 7377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622406005859375 × 214)
    floor (0.622406005859375 × 16384)
    floor (10197.5)     		ty = 10197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7377 / 10197 ti = "14/7377/10197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7377/10197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7377 ÷ 214
    7377 ÷ 16384     		x = 0.45025634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10197 ÷ 214
    10197 ÷ 16384     		y = 0.62237548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45025634765625 × 2 - 1) × π
    -0.0994873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31254859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62237548828125 × 2 - 1) × π
    -0.2447509765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.768907869905701
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31254859} λ = -0.31254859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.768907869905701))-π/2
    2×atan(0.463519015046724)-π/2
    2×0.43403929363796-π/2
    0.868078587275919-1.57079632675     		φ = -0.70271774
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31254859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.907715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70271774 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.262761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7377 KachelY 10197 -0.31254859 -0.70271774 -17.907715 -40.262761
    Oben rechts KachelX + 1 7378 KachelY 10197 -0.31216509 -0.70271774 -17.885742 -40.262761
    Unten links KachelX 7377 KachelY + 1 10198 -0.31254859 -0.70301034 -17.907715 -40.279525
    Unten rechts KachelX + 1 7378 KachelY + 1 10198 -0.31216509 -0.70301034 -17.885742 -40.279525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70271774--0.70301034) × R
    0.000292599999999976 × 6371000     		dl = 1864.15459999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70271774--0.70301034) × R
    0.000292599999999976 × 6371000     		dr = 1864.15459999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31254859--0.31216509) × cos(-0.70271774) × R
    0.000383500000000037 × 0.763088548659665 × 6371000     		do = 1864.43784453654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31254859--0.31216509) × cos(-0.70301034) × R
    0.000383500000000037 × 0.762899410387429 × 6371000     		du = 1863.97572706246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70271774)-sin(-0.70301034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.763088548659665-0.762899410387429)×R²
    abs(-0.31216509--0.31254859)×0.000189138272235989×R²
    0.000383500000000037×0.000189138272235989×6371000²
    0.000383500000000037×0.000189138272235989×40589641000000     		ar = 3475169.67989321m²