Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7377 / 10149
↖ ↑ ↗
← S 39.453161°
W 17.907715°		 ← 1 886.56 m → S 39.453161°
W 17.885742°		 →
↑
1 886.33 m
↓
↑
1 886.33 m
↓
S 39.470125°
W 17.907715°		 ← 1 886.10 m →
3 558 240 m²		 S 39.470125°
W 17.885742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450286865234375 y=0.619476318359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450286865234375 × 214)
    floor (0.450286865234375 × 16384)
    floor (7377.5)     		tx = 7377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619476318359375 × 214)
    floor (0.619476318359375 × 16384)
    floor (10149.5)     		ty = 10149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7377 / 10149 ti = "14/7377/10149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7377/10149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7377 ÷ 214
    7377 ÷ 16384     		x = 0.45025634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10149 ÷ 214
    10149 ÷ 16384     		y = 0.61944580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45025634765625 × 2 - 1) × π
    -0.0994873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31254859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61944580078125 × 2 - 1) × π
    -0.2388916015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.750500100451599
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31254859} λ = -0.31254859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.750500100451599))-π/2
    2×atan(0.472130381074369)-π/2
    2×0.441104382403365-π/2
    0.88220876480673-1.57079632675     		φ = -0.68858756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31254859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.907715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68858756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.453161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7377 KachelY 10149 -0.31254859 -0.68858756 -17.907715 -39.453161
    Oben rechts KachelX + 1 7378 KachelY 10149 -0.31216509 -0.68858756 -17.885742 -39.453161
    Unten links KachelX 7377 KachelY + 1 10150 -0.31254859 -0.68888364 -17.907715 -39.470125
    Unten rechts KachelX + 1 7378 KachelY + 1 10150 -0.31216509 -0.68888364 -17.885742 -39.470125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68858756--0.68888364) × R
    0.000296080000000032 × 6371000     		dl = 1886.3256800002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68858756--0.68888364) × R
    0.000296080000000032 × 6371000     		dr = 1886.3256800002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31254859--0.31216509) × cos(-0.68858756) × R
    0.000383500000000037 × 0.772144315963161 × 6371000     		do = 1886.56360609018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31254859--0.31216509) × cos(-0.68888364) × R
    0.000383500000000037 × 0.771956138911908 × 6371000     		du = 1886.10383714666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68858756)-sin(-0.68888364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.772144315963161-0.771956138911908)×R²
    abs(-0.31216509--0.31254859)×0.000188177051253402×R²
    0.000383500000000037×0.000188177051253402×6371000²
    0.000383500000000037×0.000188177051253402×40589641000000     		ar = 3558239.76613374m²