Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73769 / 73777
↖ ↑ ↗
← S 22.067824°
E 22.612610°		 ← 283.05 m → S 22.067824°
E 22.615356°		 →
↑
283 m
↓
↑
283 m
↓
S 22.070369°
E 22.612610°		 ← 283.05 m →
80 102 m²		 S 22.070369°
E 22.615356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562816619873047 y=0.562877655029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562816619873047 × 217)
    floor (0.562816619873047 × 131072)
    floor (73769.5)     		tx = 73769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562877655029297 × 217)
    floor (0.562877655029297 × 131072)
    floor (73777.5)     		ty = 73777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73769 / 73777 ti = "17/73769/73777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73769/73777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73769 ÷ 217
    73769 ÷ 131072     		x = 0.562812805175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73777 ÷ 217
    73777 ÷ 131072     		y = 0.562873840332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562812805175781 × 2 - 1) × π
    0.125625610351562 × 3.1415926535     		Λ = 0.39466449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562873840332031 × 2 - 1) × π
    -0.125747680664062 × 3.1415926535     		Φ = -0.395047989768883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39466449} λ = 0.39466449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.395047989768883))-π/2
    2×atan(0.673647710275219)-π/2
    2×0.59282007436176-π/2
    1.18564014872352-1.57079632675     		φ = -0.38515618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39466449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.612610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38515618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.067824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73769 KachelY 73777 0.39466449 -0.38515618 22.612610 -22.067824
    Oben rechts KachelX + 1 73770 KachelY 73777 0.39471243 -0.38515618 22.615356 -22.067824
    Unten links KachelX 73769 KachelY + 1 73778 0.39466449 -0.38520060 22.612610 -22.070369
    Unten rechts KachelX + 1 73770 KachelY + 1 73778 0.39471243 -0.38520060 22.615356 -22.070369
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38515618--0.38520060) × R
    4.44199999999895e-05 × 6371000     		dl = 282.999819999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38515618--0.38520060) × R
    4.44199999999895e-05 × 6371000     		dr = 282.999819999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39466449-0.39471243) × cos(-0.38515618) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.926739766544123 × 6371000     		do = 283.050178984308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39466449-0.39471243) × cos(-0.38520060) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.926723076863507 × 6371000     		du = 283.045081526256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38515618)-sin(-0.38520060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926739766544123-0.926723076863507)×R²
    abs(0.39471243-0.39466449)×1.66896806159667e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.66896806159667e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.66896806159667e-05×40589641000000     		ar = 80102.4284268335m²