Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73769 / 73655
↖ ↑ ↗
← S 21.756949°
E 22.612610°		 ← 283.67 m → S 21.756949°
E 22.615356°		 →
↑
283.64 m
↓
↑
283.64 m
↓
S 21.759500°
E 22.612610°		 ← 283.66 m →
80 458 m²		 S 21.759500°
E 22.615356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562816619873047 y=0.561946868896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562816619873047 × 217)
    floor (0.562816619873047 × 131072)
    floor (73769.5)     		tx = 73769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561946868896484 × 217)
    floor (0.561946868896484 × 131072)
    floor (73655.5)     		ty = 73655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73769 / 73655 ti = "17/73769/73655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73769/73655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73769 ÷ 217
    73769 ÷ 131072     		x = 0.562812805175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73655 ÷ 217
    73655 ÷ 131072     		y = 0.561943054199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562812805175781 × 2 - 1) × π
    0.125625610351562 × 3.1415926535     		Λ = 0.39466449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.561943054199219 × 2 - 1) × π
    -0.123886108398438 × 3.1415926535     		Φ = -0.389199688015236
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39466449} λ = 0.39466449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.389199688015236))-π/2
    2×atan(0.677598948114265)-π/2
    2×0.59553296730871-π/2
    1.19106593461742-1.57079632675     		φ = -0.37973039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39466449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.612610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37973039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.756949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73769 KachelY 73655 0.39466449 -0.37973039 22.612610 -21.756949
    Oben rechts KachelX + 1 73770 KachelY 73655 0.39471243 -0.37973039 22.615356 -21.756949
    Unten links KachelX 73769 KachelY + 1 73656 0.39466449 -0.37977491 22.612610 -21.759500
    Unten rechts KachelX + 1 73770 KachelY + 1 73656 0.39471243 -0.37977491 22.615356 -21.759500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37973039--0.37977491) × R
    4.45200000000479e-05 × 6371000     		dl = 283.636920000305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37973039--0.37977491) × R
    4.45200000000479e-05 × 6371000     		dr = 283.636920000305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39466449-0.39471243) × cos(-0.37973039) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.928764605690949 × 6371000     		do = 283.668616979109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39466449-0.39471243) × cos(-0.37977491) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.928748102538633 × 6371000     		du = 283.6635764916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37973039)-sin(-0.37977491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928764605690949-0.928748102538633)×R²
    abs(0.39471243-0.39466449)×1.65031523164938e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.65031523164938e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.65031523164938e-05×40589641000000     		ar = 80458.1779997577m²