Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73769 / 73639
↖ ↑ ↗
← S 21.716128°
E 22.612610°		 ← 283.75 m → S 21.716128°
E 22.615356°		 →
↑
283.70 m
↓
↑
283.70 m
↓
S 21.718680°
E 22.612610°		 ← 283.74 m →
80 499 m²		 S 21.718680°
E 22.615356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562816619873047 y=0.561824798583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562816619873047 × 217)
    floor (0.562816619873047 × 131072)
    floor (73769.5)     		tx = 73769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561824798583984 × 217)
    floor (0.561824798583984 × 131072)
    floor (73639.5)     		ty = 73639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73769 / 73639 ti = "17/73769/73639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73769/73639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73769 ÷ 217
    73769 ÷ 131072     		x = 0.562812805175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73639 ÷ 217
    73639 ÷ 131072     		y = 0.561820983886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562812805175781 × 2 - 1) × π
    0.125625610351562 × 3.1415926535     		Λ = 0.39466449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.561820983886719 × 2 - 1) × π
    -0.123641967773438 × 3.1415926535     		Φ = -0.388432697621315
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39466449} λ = 0.39466449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.388432697621315))-π/2
    2×atan(0.678118859356376)-π/2
    2×0.595889194679051-π/2
    1.1917783893581-1.57079632675     		φ = -0.37901794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39466449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.612610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37901794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.716128°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73769 KachelY 73639 0.39466449 -0.37901794 22.612610 -21.716128
    Oben rechts KachelX + 1 73770 KachelY 73639 0.39471243 -0.37901794 22.615356 -21.716128
    Unten links KachelX 73769 KachelY + 1 73640 0.39466449 -0.37906247 22.612610 -21.718680
    Unten rechts KachelX + 1 73770 KachelY + 1 73640 0.39471243 -0.37906247 22.615356 -21.718680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37901794--0.37906247) × R
    4.45299999999871e-05 × 6371000     		dl = 283.700629999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37901794--0.37906247) × R
    4.45299999999871e-05 × 6371000     		dr = 283.700629999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39466449-0.39471243) × cos(-0.37901794) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.929028453852669 × 6371000     		do = 283.74920299915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39466449-0.39471243) × cos(-0.37906247) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.929011976462591 × 6371000     		du = 283.744170380092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37901794)-sin(-0.37906247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929028453852669-0.929011976462591)×R²
    abs(0.39471243-0.39466449)×1.64773900784843e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.64773900784843e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.64773900784843e-05×40589641000000     		ar = 80499.1137874999m²