Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73768 / 73766
↖ ↑ ↗
← S 22.039821°
E 22.609863°		 ← 283.05 m → S 22.039821°
E 22.612610°		 →
↑
283.13 m
↓
↑
283.13 m
↓
S 22.042368°
E 22.609863°		 ← 283.04 m →
80 138 m²		 S 22.042368°
E 22.612610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562808990478516 y=0.562793731689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562808990478516 × 217)
    floor (0.562808990478516 × 131072)
    floor (73768.5)     		tx = 73768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562793731689453 × 217)
    floor (0.562793731689453 × 131072)
    floor (73766.5)     		ty = 73766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73768 / 73766 ti = "17/73768/73766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73768/73766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73768 ÷ 217
    73768 ÷ 131072     		x = 0.56280517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73766 ÷ 217
    73766 ÷ 131072     		y = 0.562789916992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56280517578125 × 2 - 1) × π
    0.1256103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.39461656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562789916992188 × 2 - 1) × π
    -0.125579833984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.394520683873062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39461656} λ = 0.39461656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.394520683873062))-π/2
    2×atan(0.674003022355398)-π/2
    2×0.593064436228191-π/2
    1.18612887245638-1.57079632675     		φ = -0.38466745
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39461656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.609863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38466745 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.039821°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73768 KachelY 73766 0.39461656 -0.38466745 22.609863 -22.039821
    Oben rechts KachelX + 1 73769 KachelY 73766 0.39466449 -0.38466745 22.612610 -22.039821
    Unten links KachelX 73768 KachelY + 1 73767 0.39461656 -0.38471189 22.609863 -22.042368
    Unten rechts KachelX + 1 73769 KachelY + 1 73767 0.39466449 -0.38471189 22.612610 -22.042368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38466745--0.38471189) × R
    4.44399999999789e-05 × 6371000     		dl = 283.127239999866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38466745--0.38471189) × R
    4.44399999999789e-05 × 6371000     		dr = 283.127239999866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39461656-0.39466449) × cos(-0.38466745) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.92692327361472 × 6371000     		do = 283.047172485082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39461656-0.39466449) × cos(-0.38471189) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.926906596549025 × 6371000     		du = 283.042079942447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38466745)-sin(-0.38471189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92692327361472-0.926906596549025)×R²
    abs(0.39466449-0.39461656)×1.66770656946369e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.66770656946369e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.66770656946369e-05×40589641000000     		ar = 80137.6438297998m²