Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73768 / 73656
↖ ↑ ↗
← S 21.759500°
E 22.609863°		 ← 283.60 m → S 21.759500°
E 22.612610°		 →
↑
283.64 m
↓
↑
283.64 m
↓
S 21.762050°
E 22.609863°		 ← 283.60 m →
80 440 m²		 S 21.762050°
E 22.612610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562808990478516 y=0.561954498291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562808990478516 × 217)
    floor (0.562808990478516 × 131072)
    floor (73768.5)     		tx = 73768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561954498291016 × 217)
    floor (0.561954498291016 × 131072)
    floor (73656.5)     		ty = 73656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73768 / 73656 ti = "17/73768/73656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73768/73656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73768 ÷ 217
    73768 ÷ 131072     		x = 0.56280517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73656 ÷ 217
    73656 ÷ 131072     		y = 0.56195068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56280517578125 × 2 - 1) × π
    0.1256103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.39461656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56195068359375 × 2 - 1) × π
    -0.1239013671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.389247624914856
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39461656} λ = 0.39461656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.389247624914856))-π/2
    2×atan(0.677566466900037)-π/2
    2×0.595510706458675-π/2
    1.19102141291735-1.57079632675     		φ = -0.37977491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39461656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.609863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37977491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.759500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73768 KachelY 73656 0.39461656 -0.37977491 22.609863 -21.759500
    Oben rechts KachelX + 1 73769 KachelY 73656 0.39466449 -0.37977491 22.612610 -21.759500
    Unten links KachelX 73768 KachelY + 1 73657 0.39461656 -0.37981943 22.609863 -21.762050
    Unten rechts KachelX + 1 73769 KachelY + 1 73657 0.39466449 -0.37981943 22.612610 -21.762050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37977491--0.37981943) × R
    4.45199999999923e-05 × 6371000     		dl = 283.636919999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37977491--0.37981943) × R
    4.45199999999923e-05 × 6371000     		dr = 283.636919999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39461656-0.39466449) × cos(-0.37977491) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.928748102538633 × 6371000     		do = 283.60440594969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39461656-0.39466449) × cos(-0.37981943) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.928731597545509 × 6371000     		du = 283.599365951485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37977491)-sin(-0.37981943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928748102538633-0.928731597545509)×R²
    abs(0.39466449-0.39461656)×1.65049931234451e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.65049931234451e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.65049931234451e-05×40589641000000     		ar = 80439.9654504445m²