Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73767 / 73775
↖ ↑ ↗
← S 22.062733°
E 22.607117°		 ← 283.06 m → S 22.062733°
E 22.609863°		 →
↑
283 m
↓
↑
283 m
↓
S 22.065278°
E 22.607117°		 ← 283.06 m →
80 105 m²		 S 22.065278°
E 22.609863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562801361083984 y=0.562862396240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562801361083984 × 217)
    floor (0.562801361083984 × 131072)
    floor (73767.5)     		tx = 73767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562862396240234 × 217)
    floor (0.562862396240234 × 131072)
    floor (73775.5)     		ty = 73775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73767 / 73775 ti = "17/73767/73775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73767/73775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73767 ÷ 217
    73767 ÷ 131072     		x = 0.562797546386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73775 ÷ 217
    73775 ÷ 131072     		y = 0.562858581542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562797546386719 × 2 - 1) × π
    0.125595092773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.39456862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562858581542969 × 2 - 1) × π
    -0.125717163085938 × 3.1415926535     		Φ = -0.394952115969643
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39456862} λ = 0.39456862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.394952115969643))-π/2
    2×atan(0.673712298536664)-π/2
    2×0.592864500193007-π/2
    1.18572900038601-1.57079632675     		φ = -0.38506733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39456862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.607117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38506733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.062733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73767 KachelY 73775 0.39456862 -0.38506733 22.607117 -22.062733
    Oben rechts KachelX + 1 73768 KachelY 73775 0.39461656 -0.38506733 22.609863 -22.062733
    Unten links KachelX 73767 KachelY + 1 73776 0.39456862 -0.38511175 22.607117 -22.065278
    Unten rechts KachelX + 1 73768 KachelY + 1 73776 0.39461656 -0.38511175 22.609863 -22.065278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38506733--0.38511175) × R
    4.44199999999895e-05 × 6371000     		dl = 282.999819999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38506733--0.38511175) × R
    4.44199999999895e-05 × 6371000     		dr = 282.999819999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39456862-0.39461656) × cos(-0.38506733) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.926773144175786 × 6371000     		do = 283.060373372158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39456862-0.39461656) × cos(-0.38511175) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.926756458152782 × 6371000     		du = 283.055277031235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38506733)-sin(-0.38511175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926773144175786-0.926756458152782)×R²
    abs(0.39461656-0.39456862)×1.66860230034205e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.66860230034205e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.66860230034205e-05×40589641000000     		ar = 80105.3135948005m²