Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73767 / 73697
↖ ↑ ↗
← S 21.864048°
E 22.607117°		 ← 283.46 m → S 21.864048°
E 22.609863°		 →
↑
283.45 m
↓
↑
283.45 m
↓
S 21.866597°
E 22.607117°		 ← 283.45 m →
80 344 m²		 S 21.866597°
E 22.609863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562801361083984 y=0.562267303466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562801361083984 × 217)
    floor (0.562801361083984 × 131072)
    floor (73767.5)     		tx = 73767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562267303466797 × 217)
    floor (0.562267303466797 × 131072)
    floor (73697.5)     		ty = 73697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73767 / 73697 ti = "17/73767/73697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73767/73697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73767 ÷ 217
    73767 ÷ 131072     		x = 0.562797546386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73697 ÷ 217
    73697 ÷ 131072     		y = 0.562263488769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562797546386719 × 2 - 1) × π
    0.125595092773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.39456862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562263488769531 × 2 - 1) × π
    -0.124526977539062 × 3.1415926535     		Φ = -0.391213037799278
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39456862} λ = 0.39456862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.391213037799278))-π/2
    2×atan(0.676236076847073)-π/2
    2×0.594598352634423-π/2
    1.18919670526885-1.57079632675     		φ = -0.38159962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39456862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.607117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38159962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.864048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73767 KachelY 73697 0.39456862 -0.38159962 22.607117 -21.864048
    Oben rechts KachelX + 1 73768 KachelY 73697 0.39461656 -0.38159962 22.609863 -21.864048
    Unten links KachelX 73767 KachelY + 1 73698 0.39456862 -0.38164411 22.607117 -21.866597
    Unten rechts KachelX + 1 73768 KachelY + 1 73698 0.39461656 -0.38164411 22.609863 -21.866597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38159962--0.38164411) × R
    4.44900000000081e-05 × 6371000     		dl = 283.445790000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38159962--0.38164411) × R
    4.44900000000081e-05 × 6371000     		dr = 283.445790000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39456862-0.39461656) × cos(-0.38159962) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.928070115902343 × 6371000     		do = 283.456501921501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39456862-0.39461656) × cos(-0.38164411) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.92805354666295 × 6371000     		du = 283.451441249298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38159962)-sin(-0.38164411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928070115902343-0.92805354666295)×R²
    abs(0.39461656-0.39456862)×1.65692393934158e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.65692393934158e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.65692393934158e-05×40589641000000     		ar = 80343.834917985m²