Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73766 / 73670
↖ ↑ ↗
← S 21.795207°
E 22.604370°		 ← 283.59 m → S 21.795207°
E 22.607117°		 →
↑
283.57 m
↓
↑
283.57 m
↓
S 21.797758°
E 22.604370°		 ← 283.59 m →
80 419 m²		 S 21.797758°
E 22.607117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562793731689453 y=0.562061309814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562793731689453 × 217)
    floor (0.562793731689453 × 131072)
    floor (73766.5)     		tx = 73766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562061309814453 × 217)
    floor (0.562061309814453 × 131072)
    floor (73670.5)     		ty = 73670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73766 / 73670 ti = "17/73766/73670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73766/73670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73766 ÷ 217
    73766 ÷ 131072     		x = 0.562789916992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73670 ÷ 217
    73670 ÷ 131072     		y = 0.562057495117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562789916992188 × 2 - 1) × π
    0.125579833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.39452068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562057495117188 × 2 - 1) × π
    -0.124114990234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.389918741509537
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39452068} λ = 0.39452068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.389918741509537))-π/2
    2×atan(0.677111893353088)-π/2
    2×0.595199096111855-π/2
    1.19039819222371-1.57079632675     		φ = -0.38039813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39452068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.604370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38039813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.795207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73766 KachelY 73670 0.39452068 -0.38039813 22.604370 -21.795207
    Oben rechts KachelX + 1 73767 KachelY 73670 0.39456862 -0.38039813 22.607117 -21.795207
    Unten links KachelX 73766 KachelY + 1 73671 0.39452068 -0.38044264 22.604370 -21.797758
    Unten rechts KachelX + 1 73767 KachelY + 1 73671 0.39456862 -0.38044264 22.607117 -21.797758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38039813--0.38044264) × R
    4.45099999999976e-05 × 6371000     		dl = 283.573209999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38039813--0.38044264) × R
    4.45099999999976e-05 × 6371000     		dr = 283.573209999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39452068-0.39456862) × cos(-0.38039813) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.928516887413772 × 6371000     		do = 283.592957440662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39452068-0.39456862) × cos(-0.38044264) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.928500360368582 × 6371000     		du = 283.587909655655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38039813)-sin(-0.38044264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928516887413772-0.928500360368582)×R²
    abs(0.39456862-0.39452068)×1.65270451892852e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65270451892852e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65270451892852e-05×40589641000000     		ar = 80418.649579769m²