Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73765 / 73773
↖ ↑ ↗
← S 22.057642°
E 22.601624°		 ← 283.01 m → S 22.057642°
E 22.604370°		 →
↑
283.06 m
↓
↑
283.06 m
↓
S 22.060187°
E 22.601624°		 ← 283.01 m →
80 110 m²		 S 22.060187°
E 22.604370°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562786102294922 y=0.562847137451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562786102294922 × 217)
    floor (0.562786102294922 × 131072)
    floor (73765.5)     		tx = 73765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562847137451172 × 217)
    floor (0.562847137451172 × 131072)
    floor (73773.5)     		ty = 73773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73765 / 73773 ti = "17/73765/73773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73765/73773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73765 ÷ 217
    73765 ÷ 131072     		x = 0.562782287597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73773 ÷ 217
    73773 ÷ 131072     		y = 0.562843322753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562782287597656 × 2 - 1) × π
    0.125564575195312 × 3.1415926535     		Λ = 0.39447275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562843322753906 × 2 - 1) × π
    -0.125686645507812 × 3.1415926535     		Φ = -0.394856242170403
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39447275} λ = 0.39447275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.394856242170403))-π/2
    2×atan(0.673776892990728)-π/2
    2×0.592908927624157-π/2
    1.18581785524831-1.57079632675     		φ = -0.38497847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39447275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.601624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38497847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.057642°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73765 KachelY 73773 0.39447275 -0.38497847 22.601624 -22.057642
    Oben rechts KachelX + 1 73766 KachelY 73773 0.39452068 -0.38497847 22.604370 -22.057642
    Unten links KachelX 73765 KachelY + 1 73774 0.39447275 -0.38502290 22.601624 -22.060187
    Unten rechts KachelX + 1 73766 KachelY + 1 73774 0.39452068 -0.38502290 22.604370 -22.060187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38497847--0.38502290) × R
    4.44299999999842e-05 × 6371000     		dl = 283.063529999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38497847--0.38502290) × R
    4.44299999999842e-05 × 6371000     		dr = 283.063529999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39447275-0.39452068) × cos(-0.38497847) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.926806518246594 × 6371000     		do = 283.011519829185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39447275-0.39452068) × cos(-0.38502290) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.926789832125943 × 6371000     		du = 283.00642452151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38497847)-sin(-0.38502290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926806518246594-0.926789832125943)×R²
    abs(0.39452068-0.39447275)×1.66861206509772e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66861206509772e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66861206509772e-05×40589641000000     		ar = 80109.5186987421m²