Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73763 / 73780
↖ ↑ ↗
← S 22.075459°
E 22.596130°		 ← 283.03 m → S 22.075459°
E 22.598877°		 →
↑
283 m
↓
↑
283 m
↓
S 22.078004°
E 22.596130°		 ← 283.03 m →
80 098 m²		 S 22.078004°
E 22.598877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562770843505859 y=0.562900543212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562770843505859 × 217)
    floor (0.562770843505859 × 131072)
    floor (73763.5)     		tx = 73763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562900543212891 × 217)
    floor (0.562900543212891 × 131072)
    floor (73780.5)     		ty = 73780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73763 / 73780 ti = "17/73763/73780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73763/73780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73763 ÷ 217
    73763 ÷ 131072     		x = 0.562767028808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73780 ÷ 217
    73780 ÷ 131072     		y = 0.562896728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562767028808594 × 2 - 1) × π
    0.125534057617188 × 3.1415926535     		Λ = 0.39437687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562896728515625 × 2 - 1) × π
    -0.12579345703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.395191800467743
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39437687} λ = 0.39437687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.395191800467743))-π/2
    2×atan(0.673550839492914)-π/2
    2×0.592753438615349-π/2
    1.1855068772307-1.57079632675     		φ = -0.38528945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39437687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.596130°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38528945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.075459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73763 KachelY 73780 0.39437687 -0.38528945 22.596130 -22.075459
    Oben rechts KachelX + 1 73764 KachelY 73780 0.39442481 -0.38528945 22.598877 -22.075459
    Unten links KachelX 73763 KachelY + 1 73781 0.39437687 -0.38533387 22.596130 -22.078004
    Unten rechts KachelX + 1 73764 KachelY + 1 73781 0.39442481 -0.38533387 22.598877 -22.078004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38528945--0.38533387) × R
    4.4420000000045e-05 × 6371000     		dl = 282.999820000287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38528945--0.38533387) × R
    4.4420000000045e-05 × 6371000     		dr = 282.999820000287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39437687-0.39442481) × cos(-0.38528945) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.926689688258381 × 6371000     		do = 283.034883786828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39437687-0.39442481) × cos(-0.38533387) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.9266729930918 × 6371000     		du = 283.02978465322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38528945)-sin(-0.38533387))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926689688258381-0.9266729930918)×R²
    abs(0.39442481-0.39437687)×1.66951665818704e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.66951665818704e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.66951665818704e-05×40589641000000     		ar = 80098.0996516348m²