Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73756 / 73772
↖ ↑ ↗
← S 22.055096°
E 22.576904°		 ← 283.08 m → S 22.055096°
E 22.579651°		 →
↑
283.06 m
↓
↑
283.06 m
↓
S 22.057642°
E 22.576904°		 ← 283.07 m →
80 128 m²		 S 22.057642°
E 22.579651°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562717437744141 y=0.562839508056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562717437744141 × 217)
    floor (0.562717437744141 × 131072)
    floor (73756.5)     		tx = 73756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562839508056641 × 217)
    floor (0.562839508056641 × 131072)
    floor (73772.5)     		ty = 73772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73756 / 73772 ti = "17/73756/73772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73756/73772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73756 ÷ 217
    73756 ÷ 131072     		x = 0.562713623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73772 ÷ 217
    73772 ÷ 131072     		y = 0.562835693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562713623046875 × 2 - 1) × π
    0.12542724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.39404131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562835693359375 × 2 - 1) × π
    -0.12567138671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.394808305270782
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39404131} λ = 0.39404131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.394808305270782))-π/2
    2×atan(0.673809192540178)-π/2
    2×0.592931141939605-π/2
    1.18586228387921-1.57079632675     		φ = -0.38493404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39404131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.576904°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38493404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.055096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73756 KachelY 73772 0.39404131 -0.38493404 22.576904 -22.055096
    Oben rechts KachelX + 1 73757 KachelY 73772 0.39408925 -0.38493404 22.579651 -22.055096
    Unten links KachelX 73756 KachelY + 1 73773 0.39404131 -0.38497847 22.576904 -22.057642
    Unten rechts KachelX + 1 73757 KachelY + 1 73773 0.39408925 -0.38497847 22.579651 -22.057642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38493404--0.38497847) × R
    4.44300000000397e-05 × 6371000     		dl = 283.063530000253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38493404--0.38497847) × R
    4.44300000000397e-05 × 6371000     		dr = 283.063530000253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39404131-0.39408925) × cos(-0.38493404) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.926823202537706 × 6371000     		do = 283.075662484391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39404131-0.39408925) × cos(-0.38497847) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.926806518246594 × 6371000     		du = 283.070566672432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38493404)-sin(-0.38497847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926823202537706-0.926806518246594)×R²
    abs(0.39408925-0.39404131)×1.66842911119014e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.66842911119014e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.66842911119014e-05×40589641000000     		ar = 80127.6750739398m²