Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73754 / 73686
↖ ↑ ↗
← S 21.836006°
E 22.571411°		 ← 283.51 m → S 21.836006°
E 22.574158°		 →
↑
283.45 m
↓
↑
283.45 m
↓
S 21.838555°
E 22.571411°		 ← 283.51 m →
80 360 m²		 S 21.838555°
E 22.574158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562702178955078 y=0.562183380126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562702178955078 × 217)
    floor (0.562702178955078 × 131072)
    floor (73754.5)     		tx = 73754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562183380126953 × 217)
    floor (0.562183380126953 × 131072)
    floor (73686.5)     		ty = 73686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73754 / 73686 ti = "17/73754/73686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73754/73686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73754 ÷ 217
    73754 ÷ 131072     		x = 0.562698364257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73686 ÷ 217
    73686 ÷ 131072     		y = 0.562179565429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562698364257812 × 2 - 1) × π
    0.125396728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.39394544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562179565429688 × 2 - 1) × π
    -0.124359130859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.390685731903458
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39394544} λ = 0.39394544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.390685731903458))-π/2
    2×atan(0.676592754148118)-π/2
    2×0.594843065072932-π/2
    1.18968613014586-1.57079632675     		φ = -0.38111020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39394544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.571411°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38111020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.836006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73754 KachelY 73686 0.39394544 -0.38111020 22.571411 -21.836006
    Oben rechts KachelX + 1 73755 KachelY 73686 0.39399338 -0.38111020 22.574158 -21.836006
    Unten links KachelX 73754 KachelY + 1 73687 0.39394544 -0.38115469 22.571411 -21.838555
    Unten rechts KachelX + 1 73755 KachelY + 1 73687 0.39399338 -0.38115469 22.574158 -21.838555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38111020--0.38115469) × R
    4.44900000000081e-05 × 6371000     		dl = 283.445790000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38111020--0.38115469) × R
    4.44900000000081e-05 × 6371000     		dr = 283.445790000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39394544-0.39399338) × cos(-0.38111020) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.928252267445989 × 6371000     		do = 283.512135691511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39394544-0.39399338) × cos(-0.38115469) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.928235718416472 × 6371000     		du = 283.507081191925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38111020)-sin(-0.38115469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928252267445989-0.928235718416472)×R²
    abs(0.39399338-0.39394544)×1.65490295169768e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.65490295169768e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.65490295169768e-05×40589641000000     		ar = 80359.6049505377m²