Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73754 / 73624
↖ ↑ ↗
← S 21.677848°
E 22.571411°		 ← 283.82 m → S 21.677848°
E 22.574158°		 →
↑
283.76 m
↓
↑
283.76 m
↓
S 21.680400°
E 22.571411°		 ← 283.82 m →
80 539 m²		 S 21.680400°
E 22.574158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562702178955078 y=0.561710357666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562702178955078 × 217)
    floor (0.562702178955078 × 131072)
    floor (73754.5)     		tx = 73754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561710357666016 × 217)
    floor (0.561710357666016 × 131072)
    floor (73624.5)     		ty = 73624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73754 / 73624 ti = "17/73754/73624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73754/73624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73754 ÷ 217
    73754 ÷ 131072     		x = 0.562698364257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73624 ÷ 217
    73624 ÷ 131072     		y = 0.56170654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562698364257812 × 2 - 1) × π
    0.125396728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.39394544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56170654296875 × 2 - 1) × π
    -0.1234130859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.387713644127014
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39394544} λ = 0.39394544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.387713644127014))-π/2
    2×atan(0.678606638440359)-π/2
    2×0.596223249669224-π/2
    1.19244649933845-1.57079632675     		φ = -0.37834983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39394544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.571411°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37834983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.677848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73754 KachelY 73624 0.39394544 -0.37834983 22.571411 -21.677848
    Oben rechts KachelX + 1 73755 KachelY 73624 0.39399338 -0.37834983 22.574158 -21.677848
    Unten links KachelX 73754 KachelY + 1 73625 0.39394544 -0.37839437 22.571411 -21.680400
    Unten rechts KachelX + 1 73755 KachelY + 1 73625 0.39399338 -0.37839437 22.574158 -21.680400
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37834983--0.37839437) × R
    4.45399999999818e-05 × 6371000     		dl = 283.764339999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37834983--0.37839437) × R
    4.45399999999818e-05 × 6371000     		dr = 283.764339999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39394544-0.39399338) × cos(-0.37834983) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.92927545272478 × 6371000     		do = 283.824642812443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39394544-0.39399338) × cos(-0.37839437) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.929258999283311 × 6371000     		du = 283.819617507907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37834983)-sin(-0.37839437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92927545272478-0.929258999283311)×R²
    abs(0.39399338-0.39394544)×1.64534414689443e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.64534414689443e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.64534414689443e-05×40589641000000     		ar = 80538.599455645m²