Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73752 / 73784
↖ ↑ ↗
← S 22.085640°
E 22.565918°		 ← 282.96 m → S 22.085640°
E 22.568664°		 →
↑
283 m
↓
↑
283 m
↓
S 22.088185°
E 22.565918°		 ← 282.95 m →
80 076 m²		 S 22.088185°
E 22.568664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562686920166016 y=0.562931060791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562686920166016 × 217)
    floor (0.562686920166016 × 131072)
    floor (73752.5)     		tx = 73752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562931060791016 × 217)
    floor (0.562931060791016 × 131072)
    floor (73784.5)     		ty = 73784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73752 / 73784 ti = "17/73752/73784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73752/73784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73752 ÷ 217
    73752 ÷ 131072     		x = 0.56268310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73784 ÷ 217
    73784 ÷ 131072     		y = 0.56292724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56268310546875 × 2 - 1) × π
    0.1253662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.39384957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56292724609375 × 2 - 1) × π
    -0.1258544921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.395383548066223
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39384957} λ = 0.39384957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.395383548066223))-π/2
    2×atan(0.673421700118464)-π/2
    2×0.592664596555867-π/2
    1.18532919311173-1.57079632675     		φ = -0.38546713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39384957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.565918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38546713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.085640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73752 KachelY 73784 0.39384957 -0.38546713 22.565918 -22.085640
    Oben rechts KachelX + 1 73753 KachelY 73784 0.39389750 -0.38546713 22.568664 -22.085640
    Unten links KachelX 73752 KachelY + 1 73785 0.39384957 -0.38551155 22.565918 -22.088185
    Unten rechts KachelX + 1 73753 KachelY + 1 73785 0.39389750 -0.38551155 22.568664 -22.088185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38546713--0.38551155) × R
    4.44199999999895e-05 × 6371000     		dl = 282.999819999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38546713--0.38551155) × R
    4.44199999999895e-05 × 6371000     		dr = 282.999819999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39384957-0.39389750) × cos(-0.38546713) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.926622896621473 × 6371000     		do = 282.955448756986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39384957-0.39389750) × cos(-0.38551155) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.92660619414128 × 6371000     		du = 282.950348453728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38546713)-sin(-0.38551155))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926622896621473-0.92660619414128)×R²
    abs(0.39389750-0.39384957)×1.67024801930316e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.67024801930316e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.67024801930316e-05×40589641000000     		ar = 80075.6193868822m²