Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73752 / 73625
↖ ↑ ↗
← S 21.680400°
E 22.565918°		 ← 283.76 m → S 21.680400°
E 22.568664°		 →
↑
283.83 m
↓
↑
283.83 m
↓
S 21.682953°
E 22.565918°		 ← 283.76 m →
80 538 m²		 S 21.682953°
E 22.568664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562686920166016 y=0.561717987060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562686920166016 × 217)
    floor (0.562686920166016 × 131072)
    floor (73752.5)     		tx = 73752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561717987060547 × 217)
    floor (0.561717987060547 × 131072)
    floor (73625.5)     		ty = 73625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73752 / 73625 ti = "17/73752/73625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73752/73625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73752 ÷ 217
    73752 ÷ 131072     		x = 0.56268310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73625 ÷ 217
    73625 ÷ 131072     		y = 0.561714172363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56268310546875 × 2 - 1) × π
    0.1253662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.39384957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.561714172363281 × 2 - 1) × π
    -0.123428344726562 × 3.1415926535     		Φ = -0.387761581026634
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39384957} λ = 0.39384957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.387761581026634))-π/2
    2×atan(0.678574108921739)-π/2
    2×0.596200976574359-π/2
    1.19240195314872-1.57079632675     		φ = -0.37839437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39384957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.565918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37839437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.680400°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73752 KachelY 73625 0.39384957 -0.37839437 22.565918 -21.680400
    Oben rechts KachelX + 1 73753 KachelY 73625 0.39389750 -0.37839437 22.568664 -21.680400
    Unten links KachelX 73752 KachelY + 1 73626 0.39384957 -0.37843892 22.565918 -21.682953
    Unten rechts KachelX + 1 73753 KachelY + 1 73626 0.39389750 -0.37843892 22.568664 -21.682953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37839437--0.37843892) × R
    4.45500000000321e-05 × 6371000     		dl = 283.828050000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37839437--0.37843892) × R
    4.45500000000321e-05 × 6371000     		dr = 283.828050000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39384957-0.39389750) × cos(-0.37839437) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.929258999283311 × 6371000     		do = 283.760414417094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39384957-0.39389750) × cos(-0.37843892) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.929242540303664 × 6371000     		du = 283.755388469657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37839437)-sin(-0.37843892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929258999283311-0.929242540303664)×R²
    abs(0.39389750-0.39384957)×1.64589796467496e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.64589796467496e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.64589796467496e-05×40589641000000     		ar = 80538.4518520932m²