Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73751 / 73631
↖ ↑ ↗
← S 21.695713°
E 22.563171°		 ← 283.79 m → S 21.695713°
E 22.565918°		 →
↑
283.76 m
↓
↑
283.76 m
↓
S 21.698265°
E 22.563171°		 ← 283.78 m →
80 529 m²		 S 21.698265°
E 22.565918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562679290771484 y=0.561763763427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562679290771484 × 217)
    floor (0.562679290771484 × 131072)
    floor (73751.5)     		tx = 73751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561763763427734 × 217)
    floor (0.561763763427734 × 131072)
    floor (73631.5)     		ty = 73631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73751 / 73631 ti = "17/73751/73631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73751/73631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73751 ÷ 217
    73751 ÷ 131072     		x = 0.562675476074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73631 ÷ 217
    73631 ÷ 131072     		y = 0.561759948730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562675476074219 × 2 - 1) × π
    0.125350952148438 × 3.1415926535     		Λ = 0.39380163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.561759948730469 × 2 - 1) × π
    -0.123519897460938 × 3.1415926535     		Φ = -0.388049202424355
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39380163} λ = 0.39380163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.388049202424355))-π/2
    2×atan(0.678378964553267)-π/2
    2×0.596067346289647-π/2
    1.19213469257929-1.57079632675     		φ = -0.37866163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39380163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.563171°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37866163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.695713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73751 KachelY 73631 0.39380163 -0.37866163 22.563171 -21.695713
    Oben rechts KachelX + 1 73752 KachelY 73631 0.39384957 -0.37866163 22.565918 -21.695713
    Unten links KachelX 73751 KachelY + 1 73632 0.39380163 -0.37870617 22.563171 -21.698265
    Unten rechts KachelX + 1 73752 KachelY + 1 73632 0.39384957 -0.37870617 22.565918 -21.698265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37866163--0.37870617) × R
    4.45399999999818e-05 × 6371000     		dl = 283.764339999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37866163--0.37870617) × R
    4.45399999999818e-05 × 6371000     		dr = 283.764339999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39380163-0.39384957) × cos(-0.37866163) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.929160232529125 × 6371000     		do = 283.789451598594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39380163-0.39384957) × cos(-0.37870617) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.929143766183191 × 6371000     		du = 283.784422352702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37866163)-sin(-0.37870617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929160232529125-0.929143766183191)×R²
    abs(0.39384957-0.39380163)×1.64663459344405e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64663459344405e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64663459344405e-05×40589641000000     		ar = 80528.612884876m²