Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73750 / 73632
↖ ↑ ↗
← S 21.698265°
E 22.560425°		 ← 283.78 m → S 21.698265°
E 22.563171°		 →
↑
283.76 m
↓
↑
283.76 m
↓
S 21.700817°
E 22.560425°		 ← 283.78 m →
80 527 m²		 S 21.700817°
E 22.563171°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562671661376953 y=0.561771392822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562671661376953 × 217)
    floor (0.562671661376953 × 131072)
    floor (73750.5)     		tx = 73750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561771392822266 × 217)
    floor (0.561771392822266 × 131072)
    floor (73632.5)     		ty = 73632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73750 / 73632 ti = "17/73750/73632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73750/73632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73750 ÷ 217
    73750 ÷ 131072     		x = 0.562667846679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73632 ÷ 217
    73632 ÷ 131072     		y = 0.561767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562667846679688 × 2 - 1) × π
    0.125335693359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.39375369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.561767578125 × 2 - 1) × π
    -0.12353515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.388097139323975
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39375369} λ = 0.39375369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.388097139323975))-π/2
    2×atan(0.678346445948366)-π/2
    2×0.596045075956622-π/2
    1.19209015191324-1.57079632675     		φ = -0.37870617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39375369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.560425°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37870617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.698265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73750 KachelY 73632 0.39375369 -0.37870617 22.560425 -21.698265
    Oben rechts KachelX + 1 73751 KachelY 73632 0.39380163 -0.37870617 22.563171 -21.698265
    Unten links KachelX 73750 KachelY + 1 73633 0.39375369 -0.37875071 22.560425 -21.700817
    Unten rechts KachelX + 1 73751 KachelY + 1 73633 0.39380163 -0.37875071 22.563171 -21.700817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37870617--0.37875071) × R
    4.45399999999818e-05 × 6371000     		dl = 283.764339999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37870617--0.37875071) × R
    4.45399999999818e-05 × 6371000     		dr = 283.764339999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39375369-0.39380163) × cos(-0.37870617) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.929143766183191 × 6371000     		do = 283.78442235303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39375369-0.39380163) × cos(-0.37875071) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.92912729799401 × 6371000     		du = 283.779392544163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37870617)-sin(-0.37875071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929143766183191-0.92912729799401)×R²
    abs(0.39380163-0.39375369)×1.64681891806628e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.64681891806628e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.64681891806628e-05×40589641000000     		ar = 80527.1856842751m²