Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73749 / 73629
↖ ↑ ↗
← S 21.690609°
E 22.557678°		 ← 283.74 m → S 21.690609°
E 22.560425°		 →
↑
283.76 m
↓
↑
283.76 m
↓
S 21.693161°
E 22.557678°		 ← 283.74 m →
80 515 m²		 S 21.693161°
E 22.560425°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562664031982422 y=0.561748504638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562664031982422 × 217)
    floor (0.562664031982422 × 131072)
    floor (73749.5)     		tx = 73749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561748504638672 × 217)
    floor (0.561748504638672 × 131072)
    floor (73629.5)     		ty = 73629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73749 / 73629 ti = "17/73749/73629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73749/73629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73749 ÷ 217
    73749 ÷ 131072     		x = 0.562660217285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73629 ÷ 217
    73629 ÷ 131072     		y = 0.561744689941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562660217285156 × 2 - 1) × π
    0.125320434570312 × 3.1415926535     		Λ = 0.39370576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.561744689941406 × 2 - 1) × π
    -0.123489379882812 × 3.1415926535     		Φ = -0.387953328625114
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39370576} λ = 0.39370576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.387953328625114))-π/2
    2×atan(0.67844400643978)-π/2
    2×0.596111888139641-π/2
    1.19222377627928-1.57079632675     		φ = -0.37857255
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39370576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.557678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37857255 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.690609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73749 KachelY 73629 0.39370576 -0.37857255 22.557678 -21.690609
    Oben rechts KachelX + 1 73750 KachelY 73629 0.39375369 -0.37857255 22.560425 -21.690609
    Unten links KachelX 73749 KachelY + 1 73630 0.39370576 -0.37861709 22.557678 -21.693161
    Unten rechts KachelX + 1 73750 KachelY + 1 73630 0.39375369 -0.37861709 22.560425 -21.693161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37857255--0.37861709) × R
    4.45399999999818e-05 × 6371000     		dl = 283.764339999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37857255--0.37861709) × R
    4.45399999999818e-05 × 6371000     		dr = 283.764339999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39370576-0.39375369) × cos(-0.37857255) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.929193159691125 × 6371000     		do = 283.740309505241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39370576-0.39375369) × cos(-0.37861709) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.929176697031781 × 6371000     		du = 283.735282434165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37857255)-sin(-0.37861709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929193159691125-0.929176697031781)×R²
    abs(0.39375369-0.39370576)×1.64626593441852e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.64626593441852e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.64626593441852e-05×40589641000000     		ar = 80514.6684196665m²