Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73749 / 73627
↖ ↑ ↗
← S 21.685505°
E 22.557678°		 ← 283.75 m → S 21.685505°
E 22.560425°		 →
↑
283.83 m
↓
↑
283.83 m
↓
S 21.688057°
E 22.557678°		 ← 283.75 m →
80 536 m²		 S 21.688057°
E 22.560425°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562664031982422 y=0.561733245849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562664031982422 × 217)
    floor (0.562664031982422 × 131072)
    floor (73749.5)     		tx = 73749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561733245849609 × 217)
    floor (0.561733245849609 × 131072)
    floor (73627.5)     		ty = 73627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73749 / 73627 ti = "17/73749/73627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73749/73627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73749 ÷ 217
    73749 ÷ 131072     		x = 0.562660217285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73627 ÷ 217
    73627 ÷ 131072     		y = 0.561729431152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562660217285156 × 2 - 1) × π
    0.125320434570312 × 3.1415926535     		Λ = 0.39370576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.561729431152344 × 2 - 1) × π
    -0.123458862304688 × 3.1415926535     		Φ = -0.387857454825874
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39370576} λ = 0.39370576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.387857454825874))-π/2
    2×atan(0.678509054562404)-π/2
    2×0.596156431567977-π/2
    1.19231286313595-1.57079632675     		φ = -0.37848346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39370576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.557678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37848346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.685505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73749 KachelY 73627 0.39370576 -0.37848346 22.557678 -21.685505
    Oben rechts KachelX + 1 73750 KachelY 73627 0.39375369 -0.37848346 22.560425 -21.685505
    Unten links KachelX 73749 KachelY + 1 73628 0.39370576 -0.37852801 22.557678 -21.688057
    Unten rechts KachelX + 1 73750 KachelY + 1 73628 0.39375369 -0.37852801 22.560425 -21.688057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37848346--0.37852801) × R
    4.45500000000321e-05 × 6371000     		dl = 283.828050000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37848346--0.37852801) × R
    4.45500000000321e-05 × 6371000     		dr = 283.828050000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39370576-0.39375369) × cos(-0.37848346) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.929226083174865 × 6371000     		do = 283.750363087071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39370576-0.39375369) × cos(-0.37852801) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.929209620507125 × 6371000     		du = 283.74533601343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37848346)-sin(-0.37852801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929226083174865-0.929209620507125)×R²
    abs(0.39375369-0.39370576)×1.64626677400248e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.64626677400248e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.64626677400248e-05×40589641000000     		ar = 80535.5988429165m²