Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73742 / 73622
↖ ↑ ↗
← S 21.672743°
E 22.538452°		 ← 283.83 m → S 21.672743°
E 22.541199°		 →
↑
283.83 m
↓
↑
283.83 m
↓
S 21.675296°
E 22.538452°		 ← 283.83 m →
80 560 m²		 S 21.675296°
E 22.541199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562610626220703 y=0.561695098876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562610626220703 × 217)
    floor (0.562610626220703 × 131072)
    floor (73742.5)     		tx = 73742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561695098876953 × 217)
    floor (0.561695098876953 × 131072)
    floor (73622.5)     		ty = 73622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73742 / 73622 ti = "17/73742/73622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73742/73622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73742 ÷ 217
    73742 ÷ 131072     		x = 0.562606811523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73622 ÷ 217
    73622 ÷ 131072     		y = 0.561691284179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562606811523438 × 2 - 1) × π
    0.125213623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.39337020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.561691284179688 × 2 - 1) × π
    -0.123382568359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.387617770327774
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39337020} λ = 0.39337020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.387617770327774))-π/2
    2×atan(0.678671702155878)-π/2
    2×0.596267797042115-π/2
    1.19253559408423-1.57079632675     		φ = -0.37826073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39337020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.538452°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37826073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.672743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73742 KachelY 73622 0.39337020 -0.37826073 22.538452 -21.672743
    Oben rechts KachelX + 1 73743 KachelY 73622 0.39341814 -0.37826073 22.541199 -21.672743
    Unten links KachelX 73742 KachelY + 1 73623 0.39337020 -0.37830528 22.538452 -21.675296
    Unten rechts KachelX + 1 73743 KachelY + 1 73623 0.39341814 -0.37830528 22.541199 -21.675296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37826073--0.37830528) × R
    4.45500000000321e-05 × 6371000     		dl = 283.828050000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37826073--0.37830528) × R
    4.45500000000321e-05 × 6371000     		dr = 283.828050000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39337020-0.39341814) × cos(-0.37826073) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.929308361463257 × 6371000     		do = 283.834693988245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39337020-0.39341814) × cos(-0.37830528) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.929291908016203 × 6371000     		du = 283.829668682003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37826073)-sin(-0.37830528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929308361463257-0.929291908016203)×R²
    abs(0.39341814-0.39337020)×1.64534470546984e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.64534470546984e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.64534470546984e-05×40589641000000     		ar = 80559.5345690641m²