Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7374 / 8759
↖ ↑ ↗
← N 78.570289°
W139.493408°		 ← 121.05 m → N 78.570289°
W139.487915°		 →
↑
120.99 m
↓
↑
120.99 m
↓
N 78.569201°
W139.493408°		 ← 121.06 m →
14 646 m²		 N 78.569201°
W139.487915°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.112525939941406 y=0.133659362792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.112525939941406 × 216)
    floor (0.112525939941406 × 65536)
    floor (7374.5)     		tx = 7374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133659362792969 × 216)
    floor (0.133659362792969 × 65536)
    floor (8759.5)     		ty = 8759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7374 / 8759 ti = "16/7374/8759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7374/8759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7374 ÷ 216
    7374 ÷ 65536     		x = 0.112518310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8759 ÷ 216
    8759 ÷ 65536     		y = 0.133651733398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.112518310546875 × 2 - 1) × π
    -0.77496337890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.43461926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133651733398438 × 2 - 1) × π
    0.732696533203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.30183404595586
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.43461926} λ = -2.43461926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30183404595586))-π/2
    2×atan(9.99249234927043)-π/2
    2×1.47105328583302-π/2
    2.94210657166604-1.57079632675     		φ = 1.37131024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.43461926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -139.493408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37131024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.570289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7374 KachelY 8759 -2.43461926 1.37131024 -139.493408 78.570289
    Oben rechts KachelX + 1 7375 KachelY 8759 -2.43452338 1.37131024 -139.487915 78.570289
    Unten links KachelX 7374 KachelY + 1 8760 -2.43461926 1.37129125 -139.493408 78.569201
    Unten rechts KachelX + 1 7375 KachelY + 1 8760 -2.43452338 1.37129125 -139.487915 78.569201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37131024-1.37129125) × R
    1.898999999983e-05 × 6371000     		dl = 120.985289998917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37131024-1.37129125) × R
    1.898999999983e-05 × 6371000     		dr = 120.985289998917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.43461926--2.43452338) × cos(1.37131024) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.19816563542604 × 6371000     		do = 121.049771685058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.43461926--2.43452338) × cos(1.37129125) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.198184248791019 × 6371000     		du = 121.061141686603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37131024)-sin(1.37129125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19816563542604-0.198184248791019)×R²
    abs(-2.43452338--2.43461926)×1.86133649789366e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.86133649789366e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.86133649789366e-05×40589641000000     		ar = 14645.9295333953m²