Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7374 / 5618
↖ ↑ ↗
← N 49.124219°
W 17.973633°		 ← 1 598.89 m → N 49.124219°
W 17.951660°		 →
↑
1 599.18 m
↓
↑
1 599.18 m
↓
N 49.109838°
W 17.973633°		 ← 1 599.36 m →
2 557 294 m²		 N 49.109838°
W 17.951660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450103759765625 y=0.342926025390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450103759765625 × 214)
    floor (0.450103759765625 × 16384)
    floor (7374.5)     		tx = 7374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342926025390625 × 214)
    floor (0.342926025390625 × 16384)
    floor (5618.5)     		ty = 5618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7374 / 5618 ti = "14/7374/5618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7374/5618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7374 ÷ 214
    7374 ÷ 16384     		x = 0.4500732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5618 ÷ 214
    5618 ÷ 16384     		y = 0.3428955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4500732421875 × 2 - 1) × π
    -0.099853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31369907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3428955078125 × 2 - 1) × π
    0.314208984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.987116636976196
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31369907} λ = -0.31369907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.987116636976196))-π/2
    2×atan(2.68348584280763)-π/2
    2×1.21408784756796-π/2
    2.42817569513593-1.57079632675     		φ = 0.85737937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31369907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.973633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85737937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.124219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7374 KachelY 5618 -0.31369907 0.85737937 -17.973633 49.124219
    Oben rechts KachelX + 1 7375 KachelY 5618 -0.31331558 0.85737937 -17.951660 49.124219
    Unten links KachelX 7374 KachelY + 1 5619 -0.31369907 0.85712836 -17.973633 49.109838
    Unten rechts KachelX + 1 7375 KachelY + 1 5619 -0.31331558 0.85712836 -17.951660 49.109838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85737937-0.85712836) × R
    0.00025100999999994 × 6371000     		dl = 1599.18470999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85737937-0.85712836) × R
    0.00025100999999994 × 6371000     		dr = 1599.18470999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31369907--0.31331558) × cos(0.85737937) × R
    0.000383490000000042 × 0.654421250474776 × 6371000     		do = 1598.89167805044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31369907--0.31331558) × cos(0.85712836) × R
    0.000383490000000042 × 0.654611026089344 × 6371000     		du = 1599.35534063874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85737937)-sin(0.85712836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654421250474776-0.654611026089344)×R²
    abs(-0.31331558--0.31369907)×0.000189775614568122×R²
    0.000383490000000042×0.000189775614568122×6371000²
    0.000383490000000042×0.000189775614568122×40589641000000     		ar = 2557293.87897271m²