Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7374 / 10673
↖ ↑ ↗
← S 47.768868°
W 17.973633°		 ← 1 642.14 m → S 47.768868°
W 17.951660°		 →
↑
1 641.93 m
↓
↑
1 641.93 m
↓
S 47.783634°
W 17.973633°		 ← 1 641.67 m →
2 695 904 m²		 S 47.783634°
W 17.951660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450103759765625 y=0.651458740234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450103759765625 × 214)
    floor (0.450103759765625 × 16384)
    floor (7374.5)     		tx = 7374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651458740234375 × 214)
    floor (0.651458740234375 × 16384)
    floor (10673.5)     		ty = 10673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7374 / 10673 ti = "14/7374/10673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7374/10673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7374 ÷ 214
    7374 ÷ 16384     		x = 0.4500732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10673 ÷ 214
    10673 ÷ 16384     		y = 0.65142822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4500732421875 × 2 - 1) × π
    -0.099853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31369907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65142822265625 × 2 - 1) × π
    -0.3028564453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.951451583658875
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31369907} λ = -0.31369907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.951451583658875))-π/2
    2×atan(0.386180043757622)-π/2
    2×0.36853614660363-π/2
    0.737072293207261-1.57079632675     		φ = -0.83372403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31369907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.973633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83372403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.768868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7374 KachelY 10673 -0.31369907 -0.83372403 -17.973633 -47.768868
    Oben rechts KachelX + 1 7375 KachelY 10673 -0.31331558 -0.83372403 -17.951660 -47.768868
    Unten links KachelX 7374 KachelY + 1 10674 -0.31369907 -0.83398175 -17.973633 -47.783634
    Unten rechts KachelX + 1 7375 KachelY + 1 10674 -0.31331558 -0.83398175 -17.951660 -47.783634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83372403--0.83398175) × R
    0.000257720000000017 × 6371000     		dl = 1641.93412000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83372403--0.83398175) × R
    0.000257720000000017 × 6371000     		dr = 1641.93412000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31369907--0.31331558) × cos(-0.83372403) × R
    0.000383490000000042 × 0.672123008141318 × 6371000     		do = 1642.14087419034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31369907--0.31331558) × cos(-0.83398175) × R
    0.000383490000000042 × 0.671932159752895 × 6371000     		du = 1641.67459058509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83372403)-sin(-0.83398175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672123008141318-0.671932159752895)×R²
    abs(-0.31331558--0.31369907)×0.000190848388423315×R²
    0.000383490000000042×0.000190848388423315×6371000²
    0.000383490000000042×0.000190848388423315×40589641000000     		ar = 2695904.34262195m²