Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73737 / 60953
↖ ↑ ↗
← N 12.487532°
E 22.524719°		 ← 298.20 m → N 12.487532°
E 22.527466°		 →
↑
298.16 m
↓
↑
298.16 m
↓
N 12.484851°
E 22.524719°		 ← 298.20 m →
88 913 m²		 N 12.484851°
E 22.527466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60953 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562572479248047 y=0.465038299560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562572479248047 × 217)
    floor (0.562572479248047 × 131072)
    floor (73737.5)     		tx = 73737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465038299560547 × 217)
    floor (0.465038299560547 × 131072)
    floor (60953.5)     		ty = 60953
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73737 / 60953 ti = "17/73737/60953"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73737/60953.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73737 ÷ 217
    73737 ÷ 131072     		x = 0.562568664550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60953 ÷ 217
    60953 ÷ 131072     		y = 0.465034484863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562568664550781 × 2 - 1) × π
    0.125137329101562 × 3.1415926535     		Λ = 0.39313051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.465034484863281 × 2 - 1) × π
    0.0699310302734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.219694810958717
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39313051} λ = 0.39313051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.219694810958717))-π/2
    2×atan(1.24569649964872)-π/2
    2×0.89437243842989-π/2
    1.78874487685978-1.57079632675     		φ = 0.21794855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39313051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.524719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21794855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.487532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73737 KachelY 60953 0.39313051 0.21794855 22.524719 12.487532
    Oben rechts KachelX + 1 73738 KachelY 60953 0.39317845 0.21794855 22.527466 12.487532
    Unten links KachelX 73737 KachelY + 1 60954 0.39313051 0.21790175 22.524719 12.484851
    Unten rechts KachelX + 1 73738 KachelY + 1 60954 0.39317845 0.21790175 22.527466 12.484851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21794855-0.21790175) × R
    4.67999999999857e-05 × 6371000     		dl = 298.162799999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21794855-0.21790175) × R
    4.67999999999857e-05 × 6371000     		dr = 298.162799999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39313051-0.39317845) × cos(0.21794855) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.976343082671187 × 6371000     		do = 298.200308518878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39313051-0.39317845) × cos(0.21790175) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.97635320103308 × 6371000     		du = 298.203398927047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21794855)-sin(0.21790175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976343082671187-0.97635320103308)×R²
    abs(0.39317845-0.39313051)×1.01183618929079e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.01183618929079e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.01183618929079e-05×40589641000000     		ar = 88912.699687419m²