Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7373 / 5739
↖ ↑ ↗
← N 47.353710°
W 17.995606°		 ← 1 655.25 m → N 47.353710°
W 17.973633°		 →
↑
1 655.44 m
↓
↑
1 655.44 m
↓
N 47.338823°
W 17.995606°		 ← 1 655.72 m →
2 740 553 m²		 N 47.338823°
W 17.973633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450042724609375 y=0.350311279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450042724609375 × 214)
    floor (0.450042724609375 × 16384)
    floor (7373.5)     		tx = 7373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350311279296875 × 214)
    floor (0.350311279296875 × 16384)
    floor (5739.5)     		ty = 5739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7373 / 5739 ti = "14/7373/5739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7373/5739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7373 ÷ 214
    7373 ÷ 16384     		x = 0.45001220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5739 ÷ 214
    5739 ÷ 16384     		y = 0.35028076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45001220703125 × 2 - 1) × π
    -0.0999755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31408257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35028076171875 × 2 - 1) × π
    0.2994384765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.940713718143982
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31408257} λ = -0.31408257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.940713718143982))-π/2
    2×atan(2.56180917569)-π/2
    2×1.1986372450619-π/2
    2.3972744901238-1.57079632675     		φ = 0.82647816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31408257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.995606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82647816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.353710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7373 KachelY 5739 -0.31408257 0.82647816 -17.995606 47.353710
    Oben rechts KachelX + 1 7374 KachelY 5739 -0.31369907 0.82647816 -17.973633 47.353710
    Unten links KachelX 7373 KachelY + 1 5740 -0.31408257 0.82621832 -17.995606 47.338823
    Unten rechts KachelX + 1 7374 KachelY + 1 5740 -0.31369907 0.82621832 -17.973633 47.338823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82647816-0.82621832) × R
    0.000259840000000011 × 6371000     		dl = 1655.44064000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82647816-0.82621832) × R
    0.000259840000000011 × 6371000     		dr = 1655.44064000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31408257--0.31369907) × cos(0.82647816) × R
    0.000383499999999981 × 0.677470445560675 × 6371000     		do = 1655.24897402374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31408257--0.31369907) × cos(0.82621832) × R
    0.000383499999999981 × 0.677661547998942 × 6371000     		du = 1655.71589050245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82647816)-sin(0.82621832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677470445560675-0.677661547998942)×R²
    abs(-0.31369907--0.31408257)×0.000191102438267032×R²
    0.000383499999999981×0.000191102438267032×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191102438267032×40589641000000     		ar = 2740552.91259505m²