Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73726 / 73611
↖ ↑ ↗
← S 21.644664°
E 22.494507°		 ← 283.83 m → S 21.644664°
E 22.497253°		 →
↑
283.83 m
↓
↑
283.83 m
↓
S 21.647217°
E 22.494507°		 ← 283.83 m →
80 558 m²		 S 21.647217°
E 22.497253°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562488555908203 y=0.561611175537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562488555908203 × 217)
    floor (0.562488555908203 × 131072)
    floor (73726.5)     		tx = 73726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561611175537109 × 217)
    floor (0.561611175537109 × 131072)
    floor (73611.5)     		ty = 73611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73726 / 73611 ti = "17/73726/73611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73726/73611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73726 ÷ 217
    73726 ÷ 131072     		x = 0.562484741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73611 ÷ 217
    73611 ÷ 131072     		y = 0.561607360839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562484741210938 × 2 - 1) × π
    0.124969482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.39260321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.561607360839844 × 2 - 1) × π
    -0.123214721679688 × 3.1415926535     		Φ = -0.387090464431953
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39260321} λ = 0.39260321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.387090464431953))-π/2
    2×atan(0.679029664115183)-π/2
    2×0.596512835779286-π/2
    1.19302567155857-1.57079632675     		φ = -0.37777066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39260321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.494507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37777066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.644664°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73726 KachelY 73611 0.39260321 -0.37777066 22.494507 -21.644664
    Oben rechts KachelX + 1 73727 KachelY 73611 0.39265114 -0.37777066 22.497253 -21.644664
    Unten links KachelX 73726 KachelY + 1 73612 0.39260321 -0.37781521 22.494507 -21.647217
    Unten rechts KachelX + 1 73727 KachelY + 1 73612 0.39265114 -0.37781521 22.497253 -21.647217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37777066--0.37781521) × R
    4.45500000000321e-05 × 6371000     		dl = 283.828050000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37777066--0.37781521) × R
    4.45500000000321e-05 × 6371000     		dr = 283.828050000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39260321-0.39265114) × cos(-0.37777066) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.929489235020221 × 6371000     		do = 283.830719669096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39260321-0.39265114) × cos(-0.37781521) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.929472801864197 × 6371000     		du = 283.825701607213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37777066)-sin(-0.37781521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929489235020221-0.929472801864197)×R²
    abs(0.39265114-0.39260321)×1.6433156024398e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.6433156024398e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.6433156024398e-05×40589641000000     		ar = 80558.407573827m²