Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73724 / 73615
↖ ↑ ↗
← S 21.654876°
E 22.489013°		 ← 283.87 m → S 21.654876°
E 22.491760°		 →
↑
283.83 m
↓
↑
283.83 m
↓
S 21.657428°
E 22.489013°		 ← 283.86 m →
80 570 m²		 S 21.657428°
E 22.491760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562473297119141 y=0.561641693115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562473297119141 × 217)
    floor (0.562473297119141 × 131072)
    floor (73724.5)     		tx = 73724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561641693115234 × 217)
    floor (0.561641693115234 × 131072)
    floor (73615.5)     		ty = 73615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73724 / 73615 ti = "17/73724/73615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73724/73615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73724 ÷ 217
    73724 ÷ 131072     		x = 0.562469482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73615 ÷ 217
    73615 ÷ 131072     		y = 0.561637878417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562469482421875 × 2 - 1) × π
    0.12493896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.39250733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.561637878417969 × 2 - 1) × π
    -0.123275756835938 × 3.1415926535     		Φ = -0.387282212030434
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39250733} λ = 0.39250733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.387282212030434))-π/2
    2×atan(0.678899474289984)-π/2
    2×0.596423725266526-π/2
    1.19284745053305-1.57079632675     		φ = -0.37794888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39250733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.489013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37794888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.654876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73724 KachelY 73615 0.39250733 -0.37794888 22.489013 -21.654876
    Oben rechts KachelX + 1 73725 KachelY 73615 0.39255527 -0.37794888 22.491760 -21.654876
    Unten links KachelX 73724 KachelY + 1 73616 0.39250733 -0.37799343 22.489013 -21.657428
    Unten rechts KachelX + 1 73725 KachelY + 1 73616 0.39255527 -0.37799343 22.491760 -21.657428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37794888--0.37799343) × R
    4.45500000000321e-05 × 6371000     		dl = 283.828050000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37794888--0.37799343) × R
    4.45500000000321e-05 × 6371000     		dr = 283.828050000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39250733-0.39255527) × cos(-0.37794888) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.929423483947595 × 6371000     		do = 283.869855358215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39250733-0.39255527) × cos(-0.37799343) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.92940704341203 × 6371000     		du = 283.864833995474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37794888)-sin(-0.37799343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929423483947595-0.92940704341203)×R²
    abs(0.39255527-0.39250733)×1.64405355648212e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.64405355648212e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.64405355648212e-05×40589641000000     		ar = 80569.5149116761m²