Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73724 / 73611
↖ ↑ ↗
← S 21.644664°
E 22.489013°		 ← 283.89 m → S 21.644664°
E 22.491760°		 →
↑
283.83 m
↓
↑
283.83 m
↓
S 21.647217°
E 22.489013°		 ← 283.88 m →
80 575 m²		 S 21.647217°
E 22.491760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562473297119141 y=0.561611175537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562473297119141 × 217)
    floor (0.562473297119141 × 131072)
    floor (73724.5)     		tx = 73724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561611175537109 × 217)
    floor (0.561611175537109 × 131072)
    floor (73611.5)     		ty = 73611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73724 / 73611 ti = "17/73724/73611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73724/73611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73724 ÷ 217
    73724 ÷ 131072     		x = 0.562469482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73611 ÷ 217
    73611 ÷ 131072     		y = 0.561607360839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562469482421875 × 2 - 1) × π
    0.12493896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.39250733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.561607360839844 × 2 - 1) × π
    -0.123214721679688 × 3.1415926535     		Φ = -0.387090464431953
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39250733} λ = 0.39250733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.387090464431953))-π/2
    2×atan(0.679029664115183)-π/2
    2×0.596512835779286-π/2
    1.19302567155857-1.57079632675     		φ = -0.37777066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39250733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.489013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37777066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.644664°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73724 KachelY 73611 0.39250733 -0.37777066 22.489013 -21.644664
    Oben rechts KachelX + 1 73725 KachelY 73611 0.39255527 -0.37777066 22.491760 -21.644664
    Unten links KachelX 73724 KachelY + 1 73612 0.39250733 -0.37781521 22.489013 -21.647217
    Unten rechts KachelX + 1 73725 KachelY + 1 73612 0.39255527 -0.37781521 22.491760 -21.647217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37777066--0.37781521) × R
    4.45500000000321e-05 × 6371000     		dl = 283.828050000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37777066--0.37781521) × R
    4.45500000000321e-05 × 6371000     		dr = 283.828050000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39250733-0.39255527) × cos(-0.37777066) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.929489235020221 × 6371000     		do = 283.889937428228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39250733-0.39255527) × cos(-0.37781521) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.929472801864197 × 6371000     		du = 283.884918319388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37777066)-sin(-0.37781521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929489235020221-0.929472801864197)×R²
    abs(0.39255527-0.39250733)×1.6433156024398e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.6433156024398e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.6433156024398e-05×40589641000000     		ar = 80575.2150863518m²