Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73724 / 61012
↖ ↑ ↗
← N 12.329269°
E 22.489013°		 ← 298.38 m → N 12.329269°
E 22.491760°		 →
↑
298.35 m
↓
↑
298.35 m
↓
N 12.326586°
E 22.489013°		 ← 298.38 m →
89 024 m²		 N 12.326586°
E 22.491760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562473297119141 y=0.465488433837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562473297119141 × 217)
    floor (0.562473297119141 × 131072)
    floor (73724.5)     		tx = 73724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465488433837891 × 217)
    floor (0.465488433837891 × 131072)
    floor (61012.5)     		ty = 61012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73724 / 61012 ti = "17/73724/61012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73724/61012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73724 ÷ 217
    73724 ÷ 131072     		x = 0.562469482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61012 ÷ 217
    61012 ÷ 131072     		y = 0.465484619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562469482421875 × 2 - 1) × π
    0.12493896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.39250733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.465484619140625 × 2 - 1) × π
    0.06903076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.216866533881134
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39250733} λ = 0.39250733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.216866533881134))-π/2
    2×atan(1.24217830235673)-π/2
    2×0.892991333540554-π/2
    1.78598266708111-1.57079632675     		φ = 0.21518634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39250733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.489013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21518634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.329269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73724 KachelY 61012 0.39250733 0.21518634 22.489013 12.329269
    Oben rechts KachelX + 1 73725 KachelY 61012 0.39255527 0.21518634 22.491760 12.329269
    Unten links KachelX 73724 KachelY + 1 61013 0.39250733 0.21513951 22.489013 12.326586
    Unten rechts KachelX + 1 73725 KachelY + 1 61013 0.39255527 0.21513951 22.491760 12.326586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21518634-0.21513951) × R
    4.68299999999977e-05 × 6371000     		dl = 298.353929999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21518634-0.21513951) × R
    4.68299999999977e-05 × 6371000     		dr = 298.353929999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39250733-0.39255527) × cos(0.21518634) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.976936622085725 × 6371000     		do = 298.381590733783m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39250733-0.39255527) × cos(0.21513951) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.976946620599771 × 6371000     		du = 298.384644537334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21518634)-sin(0.21513951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976936622085725-0.976946620599771)×R²
    abs(0.39255527-0.39250733)×9.99851404648311e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.99851404648311e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.99851404648311e-06×40589641000000     		ar = 89023.7758084853m²