Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73723 / 73613
↖ ↑ ↗
← S 21.649770°
E 22.486267°		 ← 283.82 m → S 21.649770°
E 22.489013°		 →
↑
283.83 m
↓
↑
283.83 m
↓
S 21.652323°
E 22.486267°		 ← 283.82 m →
80 556 m²		 S 21.652323°
E 22.489013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562465667724609 y=0.561626434326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562465667724609 × 217)
    floor (0.562465667724609 × 131072)
    floor (73723.5)     		tx = 73723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561626434326172 × 217)
    floor (0.561626434326172 × 131072)
    floor (73613.5)     		ty = 73613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73723 / 73613 ti = "17/73723/73613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73723/73613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73723 ÷ 217
    73723 ÷ 131072     		x = 0.562461853027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73613 ÷ 217
    73613 ÷ 131072     		y = 0.561622619628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562461853027344 × 2 - 1) × π
    0.124923706054688 × 3.1415926535     		Λ = 0.39245940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.561622619628906 × 2 - 1) × π
    -0.123245239257812 × 3.1415926535     		Φ = -0.387186338231194
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39245940} λ = 0.39245940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.387186338231194))-π/2
    2×atan(0.678964566082136)-π/2
    2×0.596468279734926-π/2
    1.19293655946985-1.57079632675     		φ = -0.37785977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39245940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.486267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37785977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.649770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73723 KachelY 73613 0.39245940 -0.37785977 22.486267 -21.649770
    Oben rechts KachelX + 1 73724 KachelY 73613 0.39250733 -0.37785977 22.489013 -21.649770
    Unten links KachelX 73723 KachelY + 1 73614 0.39245940 -0.37790432 22.486267 -21.652323
    Unten rechts KachelX + 1 73724 KachelY + 1 73614 0.39250733 -0.37790432 22.489013 -21.652323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37785977--0.37790432) × R
    4.45500000000321e-05 × 6371000     		dl = 283.828050000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37785977--0.37790432) × R
    4.45500000000321e-05 × 6371000     		dr = 283.828050000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39245940-0.39250733) × cos(-0.37785977) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.929456363174125 × 6371000     		do = 283.820681855113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39245940-0.39250733) × cos(-0.37790432) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.929439926328265 × 6371000     		du = 283.815662666494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37785977)-sin(-0.37790432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929456363174125-0.929439926328265)×R²
    abs(0.39250733-0.39245940)×1.64368458598352e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.64368458598352e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.64368458598352e-05×40589641000000     		ar = 80555.5584007338m²