Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73721 / 73621
↖ ↑ ↗
← S 21.670191°
E 22.480774°		 ← 283.84 m → S 21.670191°
E 22.483520°		 →
↑
283.83 m
↓
↑
283.83 m
↓
S 21.672743°
E 22.480774°		 ← 283.83 m →
80 561 m²		 S 21.672743°
E 22.483520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562450408935547 y=0.561687469482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562450408935547 × 217)
    floor (0.562450408935547 × 131072)
    floor (73721.5)     		tx = 73721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561687469482422 × 217)
    floor (0.561687469482422 × 131072)
    floor (73621.5)     		ty = 73621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73721 / 73621 ti = "17/73721/73621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73721/73621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73721 ÷ 217
    73721 ÷ 131072     		x = 0.562446594238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73621 ÷ 217
    73621 ÷ 131072     		y = 0.561683654785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562446594238281 × 2 - 1) × π
    0.124893188476562 × 3.1415926535     		Λ = 0.39236352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.561683654785156 × 2 - 1) × π
    -0.123367309570312 × 3.1415926535     		Φ = -0.387569833428154
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39236352} λ = 0.39236352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.387569833428154))-π/2
    2×atan(0.678704236352928)-π/2
    2×0.596290071320067-π/2
    1.19258014264013-1.57079632675     		φ = -0.37821618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39236352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.480774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37821618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.670191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73721 KachelY 73621 0.39236352 -0.37821618 22.480774 -21.670191
    Oben rechts KachelX + 1 73722 KachelY 73621 0.39241146 -0.37821618 22.483520 -21.670191
    Unten links KachelX 73721 KachelY + 1 73622 0.39236352 -0.37826073 22.480774 -21.672743
    Unten rechts KachelX + 1 73722 KachelY + 1 73622 0.39241146 -0.37826073 22.483520 -21.672743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37821618--0.37826073) × R
    4.45499999999766e-05 × 6371000     		dl = 283.828049999851m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37821618--0.37826073) × R
    4.45499999999766e-05 × 6371000     		dr = 283.828049999851m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39236352-0.39241146) × cos(-0.37821618) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.929324813065912 × 6371000     		do = 283.839718730832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39236352-0.39241146) × cos(-0.37826073) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.929308361463257 × 6371000     		du = 283.834693987917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37821618)-sin(-0.37826073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929324813065912-0.929308361463257)×R²
    abs(0.39241146-0.39236352)×1.64516026540662e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64516026540662e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64516026540662e-05×40589641000000     		ar = 80560.9608116592m²