Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73719 / 73619
↖ ↑ ↗
← S 21.665086°
E 22.475281°		 ← 283.85 m → S 21.665086°
E 22.478028°		 →
↑
283.83 m
↓
↑
283.83 m
↓
S 21.667638°
E 22.475281°		 ← 283.84 m →
80 564 m²		 S 21.667638°
E 22.478028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562435150146484 y=0.561672210693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562435150146484 × 217)
    floor (0.562435150146484 × 131072)
    floor (73719.5)     		tx = 73719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561672210693359 × 217)
    floor (0.561672210693359 × 131072)
    floor (73619.5)     		ty = 73619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73719 / 73619 ti = "17/73719/73619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73719/73619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73719 ÷ 217
    73719 ÷ 131072     		x = 0.562431335449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73619 ÷ 217
    73619 ÷ 131072     		y = 0.561668395996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562431335449219 × 2 - 1) × π
    0.124862670898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.39226765
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.561668395996094 × 2 - 1) × π
    -0.123336791992188 × 3.1415926535     		Φ = -0.387473959628914
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39226765} λ = 0.39226765}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.387473959628914))-π/2
    2×atan(0.678769309425979)-π/2
    2×0.596334621058798-π/2
    1.1926692421176-1.57079632675     		φ = -0.37812708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39226765} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.475281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37812708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.665086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73719 KachelY 73619 0.39226765 -0.37812708 22.475281 -21.665086
    Oben rechts KachelX + 1 73720 KachelY 73619 0.39231559 -0.37812708 22.478028 -21.665086
    Unten links KachelX 73719 KachelY + 1 73620 0.39226765 -0.37817163 22.475281 -21.667638
    Unten rechts KachelX + 1 73720 KachelY + 1 73620 0.39231559 -0.37817163 22.478028 -21.667638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37812708--0.37817163) × R
    4.45499999999766e-05 × 6371000     		dl = 283.828049999851m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37812708--0.37817163) × R
    4.45499999999766e-05 × 6371000     		dr = 283.828049999851m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39226765-0.39231559) × cos(-0.37812708) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.929357710737887 × 6371000     		do = 283.849766526639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39226765-0.39231559) × cos(-0.37817163) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.929341262824132 × 6371000     		du = 283.844742910409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37812708)-sin(-0.37817163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929357710737887-0.929341262824132)×R²
    abs(0.39231559-0.39226765)×1.64479137548801e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64479137548801e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64479137548801e-05×40589641000000     		ar = 80563.8128179791m²