Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73718 / 73665
↖ ↑ ↗
← S 21.782456°
E 22.472534°		 ← 283.62 m → S 21.782456°
E 22.475281°		 →
↑
283.64 m
↓
↑
283.64 m
↓
S 21.785006°
E 22.472534°		 ← 283.61 m →
80 444 m²		 S 21.785006°
E 22.475281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562427520751953 y=0.562023162841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562427520751953 × 217)
    floor (0.562427520751953 × 131072)
    floor (73718.5)     		tx = 73718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562023162841797 × 217)
    floor (0.562023162841797 × 131072)
    floor (73665.5)     		ty = 73665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73718 / 73665 ti = "17/73718/73665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73718/73665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73718 ÷ 217
    73718 ÷ 131072     		x = 0.562423706054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73665 ÷ 217
    73665 ÷ 131072     		y = 0.562019348144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562423706054688 × 2 - 1) × π
    0.124847412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.39221971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562019348144531 × 2 - 1) × π
    -0.124038696289062 × 3.1415926535     		Φ = -0.389679057011436
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39221971} λ = 0.39221971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.389679057011436))-π/2
    2×atan(0.677274206028544)-π/2
    2×0.595310376614294-π/2
    1.19062075322859-1.57079632675     		φ = -0.38017557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39221971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.472534°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38017557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.782456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73718 KachelY 73665 0.39221971 -0.38017557 22.472534 -21.782456
    Oben rechts KachelX + 1 73719 KachelY 73665 0.39226765 -0.38017557 22.475281 -21.782456
    Unten links KachelX 73718 KachelY + 1 73666 0.39221971 -0.38022009 22.472534 -21.785006
    Unten rechts KachelX + 1 73719 KachelY + 1 73666 0.39226765 -0.38022009 22.475281 -21.785006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38017557--0.38022009) × R
    4.45199999999923e-05 × 6371000     		dl = 283.636919999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38017557--0.38022009) × R
    4.45199999999923e-05 × 6371000     		dr = 283.636919999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39221971-0.39226765) × cos(-0.38017557) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.928599498757068 × 6371000     		do = 283.618189071649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39221971-0.39226765) × cos(-0.38022009) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.928582977198981 × 6371000     		du = 283.613142962544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38017557)-sin(-0.38022009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928599498757068-0.928582977198981)×R²
    abs(0.39226765-0.39221971)×1.65215580868461e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.65215580868461e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.65215580868461e-05×40589641000000     		ar = 80443.8739860903m²