Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73717 / 73620
↖ ↑ ↗
← S 21.667638°
E 22.469788°		 ← 283.79 m → S 21.667638°
E 22.472534°		 →
↑
283.83 m
↓
↑
283.83 m
↓
S 21.670191°
E 22.469788°		 ← 283.78 m →
80 546 m²		 S 21.670191°
E 22.472534°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562419891357422 y=0.561679840087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562419891357422 × 217)
    floor (0.562419891357422 × 131072)
    floor (73717.5)     		tx = 73717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561679840087891 × 217)
    floor (0.561679840087891 × 131072)
    floor (73620.5)     		ty = 73620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73717 / 73620 ti = "17/73717/73620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73717/73620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73717 ÷ 217
    73717 ÷ 131072     		x = 0.562416076660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73620 ÷ 217
    73620 ÷ 131072     		y = 0.561676025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562416076660156 × 2 - 1) × π
    0.124832153320312 × 3.1415926535     		Λ = 0.39217178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.561676025390625 × 2 - 1) × π
    -0.12335205078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.387521896528534
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39217178} λ = 0.39217178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.387521896528534))-π/2
    2×atan(0.678736772109603)-π/2
    2×0.596312345992307-π/2
    1.19262469198461-1.57079632675     		φ = -0.37817163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39217178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.469788°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37817163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.667638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73717 KachelY 73620 0.39217178 -0.37817163 22.469788 -21.667638
    Oben rechts KachelX + 1 73718 KachelY 73620 0.39221971 -0.37817163 22.472534 -21.667638
    Unten links KachelX 73717 KachelY + 1 73621 0.39217178 -0.37821618 22.469788 -21.670191
    Unten rechts KachelX + 1 73718 KachelY + 1 73621 0.39221971 -0.37821618 22.472534 -21.670191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37817163--0.37821618) × R
    4.45500000000321e-05 × 6371000     		dl = 283.828050000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37817163--0.37821618) × R
    4.45500000000321e-05 × 6371000     		dr = 283.828050000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39217178-0.39221971) × cos(-0.37817163) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.929341262824132 × 6371000     		do = 283.785534578586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39217178-0.39221971) × cos(-0.37821618) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.929324813065912 × 6371000     		du = 283.780511447022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37817163)-sin(-0.37821618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929341262824132-0.929324813065912)×R²
    abs(0.39221971-0.39217178)×1.64497582207934e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.64497582207934e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.64497582207934e-05×40589641000000     		ar = 80545.582058166m²