Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73712 / 60973
↖ ↑ ↗
← N 12.433895°
E 22.456055°		 ← 298.26 m → N 12.433895°
E 22.458801°		 →
↑
298.29 m
↓
↑
298.29 m
↓
N 12.431212°
E 22.456055°		 ← 298.27 m →
88 969 m²		 N 12.431212°
E 22.458801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562381744384766 y=0.465190887451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562381744384766 × 217)
    floor (0.562381744384766 × 131072)
    floor (73712.5)     		tx = 73712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465190887451172 × 217)
    floor (0.465190887451172 × 131072)
    floor (60973.5)     		ty = 60973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73712 / 60973 ti = "17/73712/60973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73712/60973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73712 ÷ 217
    73712 ÷ 131072     		x = 0.5623779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60973 ÷ 217
    60973 ÷ 131072     		y = 0.465187072753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5623779296875 × 2 - 1) × π
    0.124755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.39193209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.465187072753906 × 2 - 1) × π
    0.0696258544921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.218736072966316
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39193209} λ = 0.39193209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.218736072966316))-π/2
    2×atan(1.24450277541333)-π/2
    2×0.893904361379043-π/2
    1.78780872275809-1.57079632675     		φ = 0.21701240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39193209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.456055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21701240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.433895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73712 KachelY 60973 0.39193209 0.21701240 22.456055 12.433895
    Oben rechts KachelX + 1 73713 KachelY 60973 0.39198003 0.21701240 22.458801 12.433895
    Unten links KachelX 73712 KachelY + 1 60974 0.39193209 0.21696558 22.456055 12.431212
    Unten rechts KachelX + 1 73713 KachelY + 1 60974 0.39198003 0.21696558 22.458801 12.431212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21701240-0.21696558) × R
    4.6820000000003e-05 × 6371000     		dl = 298.290220000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21701240-0.21696558) × R
    4.6820000000003e-05 × 6371000     		dr = 298.290220000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39193209-0.39198003) × cos(0.21701240) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.976545075875692 × 6371000     		do = 298.262002442494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39193209-0.39198003) × cos(0.21696558) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.976555155762915 × 6371000     		du = 298.265081099508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21701240)-sin(0.21696558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976545075875692-0.976555155762915)×R²
    abs(0.39198003-0.39193209)×1.00798872234575e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.00798872234575e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.00798872234575e-05×40589641000000     		ar = 88969.097509077m²