Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73711 / 73649
↖ ↑ ↗
← S 21.741643°
E 22.453308°		 ← 283.70 m → S 21.741643°
E 22.456055°		 →
↑
283.64 m
↓
↑
283.64 m
↓
S 21.744194°
E 22.453308°		 ← 283.69 m →
80 467 m²		 S 21.744194°
E 22.456055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562374114990234 y=0.561901092529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562374114990234 × 217)
    floor (0.562374114990234 × 131072)
    floor (73711.5)     		tx = 73711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561901092529297 × 217)
    floor (0.561901092529297 × 131072)
    floor (73649.5)     		ty = 73649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73711 / 73649 ti = "17/73711/73649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73711/73649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73711 ÷ 217
    73711 ÷ 131072     		x = 0.562370300292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73649 ÷ 217
    73649 ÷ 131072     		y = 0.561897277832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562370300292969 × 2 - 1) × π
    0.124740600585938 × 3.1415926535     		Λ = 0.39188415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.561897277832031 × 2 - 1) × π
    -0.123794555664062 × 3.1415926535     		Φ = -0.388912066617516
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39188415} λ = 0.39188415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.388912066617516))-π/2
    2×atan(0.677793868101051)-π/2
    2×0.595666540714207-π/2
    1.19133308142841-1.57079632675     		φ = -0.37946325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39188415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.453308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37946325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.741643°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73711 KachelY 73649 0.39188415 -0.37946325 22.453308 -21.741643
    Oben rechts KachelX + 1 73712 KachelY 73649 0.39193209 -0.37946325 22.456055 -21.741643
    Unten links KachelX 73711 KachelY + 1 73650 0.39188415 -0.37950777 22.453308 -21.744194
    Unten rechts KachelX + 1 73712 KachelY + 1 73650 0.39193209 -0.37950777 22.456055 -21.744194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37946325--0.37950777) × R
    4.45200000000479e-05 × 6371000     		dl = 283.636920000305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37946325--0.37950777) × R
    4.45200000000479e-05 × 6371000     		dr = 283.636920000305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39188415-0.39193209) × cos(-0.37946325) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.928863593354509 × 6371000     		do = 283.698850359503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39188415-0.39193209) × cos(-0.37950777) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.928847101248548 × 6371000     		du = 283.693813245835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37946325)-sin(-0.37950777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928863593354509-0.928847101248548)×R²
    abs(0.39193209-0.39188415)×1.64921059607748e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.64921059607748e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.64921059607748e-05×40589641000000     		ar = 80466.7537811376m²