Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7371 / 8781
↖ ↑ ↗
← N 78.546317°
W139.509888°		 ← 121.29 m → N 78.546317°
W139.504395°		 →
↑
121.30 m
↓
↑
121.30 m
↓
N 78.545226°
W139.509888°		 ← 121.30 m →
14 713 m²		 N 78.545226°
W139.504395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.112480163574219 y=0.133995056152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.112480163574219 × 216)
    floor (0.112480163574219 × 65536)
    floor (7371.5)     		tx = 7371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133995056152344 × 216)
    floor (0.133995056152344 × 65536)
    floor (8781.5)     		ty = 8781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7371 / 8781 ti = "16/7371/8781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7371/8781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7371 ÷ 216
    7371 ÷ 65536     		x = 0.112472534179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8781 ÷ 216
    8781 ÷ 65536     		y = 0.133987426757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.112472534179688 × 2 - 1) × π
    -0.775054931640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.43490688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133987426757812 × 2 - 1) × π
    0.732025146484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.29972482237257
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.43490688} λ = -2.43490688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29972482237257))-π/2
    2×atan(9.9714381605528)-π/2
    2×1.47084408184925-π/2
    2.9416881636985-1.57079632675     		φ = 1.37089184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.43490688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -139.509888°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37089184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.546317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7371 KachelY 8781 -2.43490688 1.37089184 -139.509888 78.546317
    Oben rechts KachelX + 1 7372 KachelY 8781 -2.43481101 1.37089184 -139.504395 78.546317
    Unten links KachelX 7371 KachelY + 1 8782 -2.43490688 1.37087280 -139.509888 78.545226
    Unten rechts KachelX + 1 7372 KachelY + 1 8782 -2.43481101 1.37087280 -139.504395 78.545226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37089184-1.37087280) × R
    1.90400000001922e-05 × 6371000     		dl = 121.303840001225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37089184-1.37087280) × R
    1.90400000001922e-05 × 6371000     		dr = 121.303840001225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.43490688--2.43481101) × cos(1.37089184) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.198575720588932 × 6371000     		do = 121.287621554654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.43490688--2.43481101) × cos(1.37087280) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.198594381381788 × 6371000     		du = 121.299019338709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37089184)-sin(1.37087280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198575720588932-0.198594381381788)×R²
    abs(-2.43481101--2.43490688)×1.86607928564231e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.86607928564231e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.86607928564231e-05×40589641000000     		ar = 14713.3455372017m²