Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73708 / 73676
↖ ↑ ↗
← S 21.810508°
E 22.445068°		 ← 283.56 m → S 21.810508°
E 22.447815°		 →
↑
283.57 m
↓
↑
283.57 m
↓
S 21.813058°
E 22.445068°		 ← 283.56 m →
80 410 m²		 S 21.813058°
E 22.447815°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562351226806641 y=0.562107086181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562351226806641 × 217)
    floor (0.562351226806641 × 131072)
    floor (73708.5)     		tx = 73708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562107086181641 × 217)
    floor (0.562107086181641 × 131072)
    floor (73676.5)     		ty = 73676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73708 / 73676 ti = "17/73708/73676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73708/73676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73708 ÷ 217
    73708 ÷ 131072     		x = 0.562347412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73676 ÷ 217
    73676 ÷ 131072     		y = 0.562103271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562347412109375 × 2 - 1) × π
    0.12469482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.39174034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562103271484375 × 2 - 1) × π
    -0.12420654296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.390206362907257
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39174034} λ = 0.39174034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.390206362907257))-π/2
    2×atan(0.676917169488627)-π/2
    2×0.595065572580887-π/2
    1.19013114516177-1.57079632675     		φ = -0.38066518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39174034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.445068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38066518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.810508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73708 KachelY 73676 0.39174034 -0.38066518 22.445068 -21.810508
    Oben rechts KachelX + 1 73709 KachelY 73676 0.39178828 -0.38066518 22.447815 -21.810508
    Unten links KachelX 73708 KachelY + 1 73677 0.39174034 -0.38070969 22.445068 -21.813058
    Unten rechts KachelX + 1 73709 KachelY + 1 73677 0.39178828 -0.38070969 22.447815 -21.813058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38066518--0.38070969) × R
    4.45099999999976e-05 × 6371000     		dl = 283.573209999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38066518--0.38070969) × R
    4.45099999999976e-05 × 6371000     		dr = 283.573209999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39174034-0.39178828) × cos(-0.38066518) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.928417701266333 × 6371000     		do = 283.562663438183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39174034-0.39178828) × cos(-0.38070969) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.928401163185113 × 6371000     		du = 283.557612282488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38066518)-sin(-0.38070969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928417701266333-0.928401163185113)×R²
    abs(0.39178828-0.39174034)×1.65380812204852e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65380812204852e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65380812204852e-05×40589641000000     		ar = 80410.0585343509m²